Номер 14.28, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.28, страница 88.

14.28. a) $3^{x+1} \le 14;$

б) $5^{5x-4} \ge 10;$

B) $(\frac{2}{7})^{3-x} > 11;$

Г) $(\sqrt{5})^{8-9x} < 6.$

а)

Исходное неравенство: $3^{x+1} \le 14$.
Это показательное неравенство. Для его решения прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_3(t)$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.
$\log_3(3^{x+1}) \le \log_3(14)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упрощаем левую часть:
$x+1 \le \log_3(14)$
Теперь выразим x:
$x \le \log_3(14) - 1$
Для упрощения ответа, представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $1 = \log_3(3)$.
$x \le \log_3(14) - \log_3(3)$
Применяя свойство разности логарифмов $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})$, получаем окончательный вид:
$x \le \log_3(\frac{14}{3})$
Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-\infty, \log_3(\frac{14}{3})]$.

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3(\frac{14}{3})]$.

б)

Исходное неравенство: $5^{5x-4} \ge 10$.
Прологарифмируем обе части этого неравенства по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, функция $y=\log_5(t)$ является возрастающей, и знак неравенства не меняется.
$\log_5(5^{5x-4}) \ge \log_5(10)$
Упростим левую часть по свойству логарифма:
$5x-4 \ge \log_5(10)$
Теперь решим полученное линейное неравенство относительно x:
$5x \ge 4 + \log_5(10)$
$x \ge \frac{4 + \log_5(10)}{5}$
Решением неравенства является промежуток $[\frac{4 + \log_5(10)}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{4 + \log_5(10)}{5}, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $(\frac{2}{7})^{3-x} > 11$.
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{2}{7}$. Так как основание логарифма $0 < \frac{2}{7} < 1$, логарифмическая функция $y=\log_{2/7}(t)$ является убывающей. Поэтому при логарифмировании знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$\log_{2/7}((\frac{2}{7})^{3-x}) < \log_{2/7}(11)$
Упростим левую часть:
$3-x < \log_{2/7}(11)$
Выразим x:
$-x < \log_{2/7}(11) - 3$
Умножим обе части на -1, при этом снова изменяя знак неравенства на противоположный:
$x > -( \log_{2/7}(11) - 3)$
$x > 3 - \log_{2/7}(11)$
Решением неравенства является промежуток $(3 - \log_{2/7}(11), +\infty)$.

Ответ: $x \in (3 - \log_{2/7}(11), +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $(\sqrt{5})^{8-9x} < 6$.
Сначала преобразуем основание степени: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Неравенство принимает вид: $(5^{1/2})^{8-9x} < 6$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} < 6$
$5^{4 - \frac{9}{2}x} < 6$
Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$\log_5(5^{4 - \frac{9}{2}x}) < \log_5(6)$
$4 - \frac{9}{2}x < \log_5(6)$
Решаем полученное линейное неравенство относительно x:
$-\frac{9}{2}x < \log_5(6) - 4$
Умножим обе части на $-\frac{2}{9}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
$x > -\frac{2}{9}(\log_5(6) - 4)$
$x > \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$
Решением неравенства является промежуток $(\frac{2}{9}(4 - \log_5(6)), +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{9}(4 - \log_5(6)), +\infty)$.