Номер 15.4, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.4, страница 89.

15.4. a) $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = \sqrt[5]{8};$

б) $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}, x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}};$

В) $x_1 = \sqrt[3]{32}, x_2 = 16\sqrt[9]{128};$

Г) $x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}}, x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}}.$

а) Чтобы сравнить числа $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt[5]{8}$, представим их в виде степеней с одинаковым основанием. В качестве основания выберем число 2.
Выражение $x_1$ уже содержит корень из 2:
$x_1 = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Для выражения $x_2$ представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
$x_2 = \sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$
Теперь необходимо сравнить показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем эти дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
Поскольку $\frac{5}{10} < \frac{6}{10}$, то и $2^{\frac{5}{10}} < 2^{\frac{6}{10}}$. Следовательно, $x_1 < x_2$.
Ответ: $x_1 = 2^{1/2}$, $x_2 = 2^{3/5}$; $x_1 \neq x_2$.

б) Упростим выражения для $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}$ и $x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}}$, приведя их к степеням с основанием 2.
Для $x_1$:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2^1}{(2^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^1}{2^{\frac{3}{2}}} = 2^{1 - \frac{3}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$
Что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $x_2$:
$x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{2 - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$
Что эквивалентно $2\sqrt{2}$.
Сравнивая показатели степеней $-\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$, видим, что они не равны.
Ответ: $x_1 = 2^{-1/2}$, $x_2 = 2^{3/2}$; $x_1 \neq x_2$.

в) Приведем оба выражения $x_1 = \sqrt[3]{32}$ и $x_2 = 16\sqrt[9]{128}$ к виду степени с основанием 2.
Для $x_1$:
$x_1 = \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$
Для $x_2$, где 16 является множителем перед корнем:
$x_2 = 16 \cdot \sqrt[9]{128} = 2^4 \cdot \sqrt[9]{2^7} = 2^4 \cdot 2^{\frac{7}{9}} = 2^{4 + \frac{7}{9}} = 2^{\frac{36}{9} + \frac{7}{9}} = 2^{\frac{43}{9}}$
Теперь сравним показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $\frac{43}{9}$. Приведем первую дробь к знаменателю 9:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{15}{9}$
Так как $\frac{15}{9} \neq \frac{43}{9}$, то $x_1 \neq x_2$.
Ответ: $x_1 = 2^{5/3}$, $x_2 = 2^{43/9}$; $x_1 \neq x_2$.

г) Упростим выражения $x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}}$ и $x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}}$, используя свойства корней и степеней.
Для $x_1$:
$x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}} = \frac{4}{\sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
В виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Для $x_2$:
$x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}} = \frac{2}{\sqrt{64 \cdot 2}} = \frac{2}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$
В виде степени с основанием 2: $x_2 = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{2+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Сравнивая показатели степеней $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{5}{2}$, видим, что они не равны.
Ответ: $x_1 = 2^{-1/2}$, $x_2 = 2^{-5/2}$; $x_1 \neq x_2$.