Номер 15.5, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.5, страница 89.

15.5. Постройте (схематично) график функции:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x;$

в) $y = \lg x;$

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x.$

а) $y = \log_2 x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = 2$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = 2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.
• Область определения функции (ОДЗ): $x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$. График полностью расположен в правой полуплоскости.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0+$ значение $y \to -\infty$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 2$, то $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_2 (1/2) = \log_2 2^{-1} = -1$. Точка $(1/2; -1)$.
• Если $x = 1/4$, то $y = \log_2 (1/4) = \log_2 2^{-2} = -2$. Точка $(1/4; -2)$.

График представляет собой кривую, которая начинается в левом нижнем квадранте, асимптотически приближаясь к оси $Oy$, проходит через точки $(1/4; -2)$, $(1/2; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$ и медленно возрастает вправо.
Ответ: График функции — возрастающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{\pi}$.

Основные свойства функции:

• Так как $\pi \approx 3.14159$, основание $a = \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_{\frac{1}{\pi}} 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0+$ значение $y \to +\infty$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = \frac{1}{\pi}$, то $y = \log_{\frac{1}{\pi}} (\frac{1}{\pi}) = 1$. Точка $(\frac{1}{\pi}; 1)$.
• Если $x = \pi$, то $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \pi = \log_{\pi^{-1}} \pi = -1 \cdot \log_{\pi} \pi = -1$. Точка $(\pi; -1)$.

График представляет собой кривую, которая начинается в левом верхнем квадранте, асимптотически приближаясь к оси $Oy$, проходит через точки $(\frac{1}{\pi}; 1)$ (примерно $(0.32; 1)$), $(1; 0)$, $(\pi; -1)$ (примерно $(3.14; -1)$) и медленно убывает вправо.
Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

в) $y = \lg x$

Символ $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Основание $a = 10$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = 10 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\lg 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой ($x \to 0+, y \to -\infty$).

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 10$, то $y = \lg 10 = 1$. Точка $(10; 1)$.
• Если $x = 0.1$, то $y = \lg 0.1 = \lg 10^{-1} = -1$. Точка $(0.1; -1)$.

График похож на график функции $y = \log_2 x$, но возрастает медленнее при $x>1$. Он проходит через точки $(0.1; -1)$, $(1; 0)$, $(10; 1)$.
Ответ: График функции — возрастающая кривая (рост медленнее, чем у $y = \log_2 x$), проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = \frac{1}{2} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой ($x \to 0+, y \to +\infty$).
• Также можно заметить, что $y = \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$. Это означает, что график этой функции симметричен графику функции $y=\log_2 x$ (из пункта а) относительно оси $Ox$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Точка $(2; -1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$. Точка $(4; -2)$.
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} (1/2) = 1$. Точка $(1/2; 1)$.
• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} (1/4) = 2$. Точка $(1/4; 2)$.

График представляет собой кривую, которая является зеркальным отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$. Он убывает, проходя через точки $(1/4; 2)$, $(1/2; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$, $(4; -2)$.
Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$ и симметричная графику $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$.