Номер 15.8, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.8, страница 89.

15.8. а) $y = \log_5 (x^2 - 5x + 6);$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}} (-x^2 - 5x + 14);$

в) $y = \log_9 (x^2 - 13x + 12);$

г) $y = \log_{0,2} (-x^2 + 8x + 9).$

Для нахождения области определения каждой логарифмической функции необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком логарифма, было строго больше нуля.

а) $y = \log_5 (x^2 - 5x + 6)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2, x_2 = 3$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x - 2)(x - 3) > 0$

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 2$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}} (-x^2 - 5x + 14)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$-x^2 - 5x + 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 5x - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7, x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x + 7)(x - 2) < 0$

Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-7 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-7, 2)$

в) $y = \log_9 (x^2 - 13x + 12)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$x^2 - 13x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 12. Корни:

$x_1 = 1, x_2 = 12$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x - 1)(x - 12) > 0$

Парабола $y = x^2 - 13x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 12$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (12, \infty)$

г) $y = \log_{0,2} (-x^2 + 8x + 9)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$-x^2 + 8x + 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 8x - 9 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни:

$x_1 = -1, x_2 = 9$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x + 1)(x - 9) < 0$

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательные значения в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < x < 9$.

Ответ: $x \in (-1, 9)$