Номер 15.6, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.6, страница 89.

15.6. В одной системе координат изобразите графики функций:

а) $y = \log_2 x, y = \log_9 x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = \log_{\frac{1}{5}} x;$

в) $y = \log_5 x, y = \log_3 x;$

г) $y = \log_{\frac{2}{5}} x, y = \log_{\frac{4}{5}} x;$

а) $y = \log_2 x, y = \log_9 x$

Для построения графиков логарифмических функций $y = \log_a x$ проанализируем их основные свойства.

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому для обеих функций область определения $x > 0$. Это означает, что графики будут расположены в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).

2. Асимптота: Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обоих графиков, так как при $x \to 0^+$ значение $y \to -\infty$.

3. Общая точка: Любой логарифм от 1 по любому основанию равен 0 ($\log_a 1 = 0$). Следовательно, оба графика проходят через точку $(1, 0)$.

4. Монотонность: Основания логарифмов $a_1 = 2$ и $a_2 = 9$. Так как оба основания больше 1, обе функции являются возрастающими на всей области определения.

5. Сравнение графиков: Для логарифмических функций с основанием $a > 1$ действует правило: чем больше основание, тем "прижатее" график к оси $Ox$. Это значит, что:
• при $x > 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_9 x$) будет лежать ниже графика функции с меньшим основанием ($y = \log_2 x$).
• при $0 < x < 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_9 x$) будет лежать выше графика функции с меньшим основанием ($y = \log_2 x$).

Для большей точности можно найти несколько контрольных точек:
Для $y = \log_2 x$: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(0.5, -1)$.
Для $y = \log_9 x$: $(9, 1)$, $(3, 0.5)$, $(1/9, -1)$.

Ответ: Оба графика являются возрастающими кривыми, проходящими через точку $(1, 0)$ и имеющими вертикальную асимптоту $x=0$. График функции $y = \log_2 x$ растет "быстрее" и на интервале $(1, +\infty)$ расположен выше графика $y = \log_9 x$, а на интервале $(0, 1)$ — ниже.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = \log_{\frac{1}{5}} x$

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$. Вертикальная асимптота $x=0$. Оба графика проходят через точку $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания логарифмов $a_1 = 1/2$ и $a_2 = 1/5$. Так как оба основания находятся в интервале $(0, 1)$, обе функции являются убывающими. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$.

3. Сравнение графиков: Сравним основания: $1/5 < 1/2$. Для логарифмических функций с основанием $0 < a < 1$ правило сравнения следующее:
• при $x > 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{1}{5}} x$) будет лежать выше графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{1}{2}} x$).
• при $0 < x < 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{1}{5}} x$) будет лежать ниже графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{1}{2}} x$).
Это можно также показать, используя свойство $\log_{1/a} x = -\log_a x$. Функции можно переписать как $y = -\log_2 x$ и $y = -\log_5 x$. Их графики симметричны графикам из пункта а) (с основаниями 2 и 5) относительно оси $Ox$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: $(0.5, 1)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.
Для $y = \log_{\frac{1}{5}} x$: $(0.2, 1)$, $(5, -1)$.

Ответ: Оба графика являются убывающими кривыми, проходящими через точку $(1, 0)$ и имеющими вертикальную асимптоту $x=0$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ расположен выше графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, а на интервале $(0, 1)$ — ниже.

в) $y = \log_5 x, y = \log_3 x$

Данный случай аналогичен пункту а).

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$, вертикальная асимптота $x=0$, общая точка $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания $a_1 = 5$ и $a_2 = 3$. Оба основания больше 1, поэтому обе функции возрастающие.

3. Сравнение графиков: Так как $5 > 3$, то по правилу для возрастающих логарифмов:
• при $x > 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_5 x$) лежит ниже графика функции с меньшим основанием ($y = \log_3 x$).
• при $0 < x < 1$ график $y = \log_5 x$ лежит выше графика $y = \log_3 x$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_5 x$: $(5, 1)$, $(0.2, -1)$.
Для $y = \log_3 x$: $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$.

Ответ: Оба графика — возрастающие кривые, пересекающиеся в точке $(1, 0)$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_3 x$ расположен выше графика $y = \log_5 x$. На интервале $(0, 1)$ график $y = \log_5 x$ расположен выше графика $y = \log_3 x$.

г) $y = \log_{\frac{2}{5}} x, y = \log_{\frac{4}{5}} x$

Данный случай аналогичен пункту б).

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$, вертикальная асимптота $x=0$, общая точка $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания $a_1 = 2/5 = 0.4$ и $a_2 = 4/5 = 0.8$. Оба основания лежат в интервале $(0, 1)$, поэтому обе функции убывающие.

3. Сравнение графиков: Сравним основания: $2/5 < 4/5$. По правилу для убывающих логарифмов:
• при $x > 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{2}{5}} x$) лежит выше графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{4}{5}} x$).
• при $0 < x < 1$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ лежит ниже графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_{\frac{2}{5}} x$: $(0.4, 1)$, $(2.5, -1)$.
Для $y = \log_{\frac{4}{5}} x$: $(0.8, 1)$, $(1.25, -1)$.

Ответ: Оба графика — убывающие кривые, пересекающиеся в точке $(1, 0)$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ расположен выше графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$. На интервале $(0, 1)$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ расположен ниже графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$.