Номер 14.31, страница 88, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.31, страница 88.

14.31. Постройте график функции:

а) $y = \log_x x^2$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = x^{\log_x 2}$;

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$.

а) $y = \log_x x^2$

Для построения графика функции сначала найдём её область определения (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице, а выражение под знаком логарифма $x^2$ должно быть строго больше нуля.

$\begin{cases}x > 0 \\x \neq 1 \\x^2 > 0\end{cases}$

Условие $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Учитывая первые два условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь упростим данную функцию на её области определения. Воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a b^c = c \log_a b$.

$y = \log_x x^2 = 2\log_x x$

По определению логарифма, $\log_x x = 1$ для любого допустимого $x$. Следовательно, функция принимает постоянное значение:

$y = 2$

Таким образом, график функции представляет собой горизонтальную прямую $y=2$. Однако, из-за ограничений ОДЗ, на этой прямой должна быть выколота точка, абсцисса которой не входит в область определения, то есть $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

Найдём область определения функции. Выражение $\log_2 x$ определено только для положительных значений $x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$y = 2^{\log_2 x} = x$

Функция тождественно равна $y=x$ на всей своей области определения.

Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. Но с учётом ОДЗ ($x > 0$), мы должны рассматривать только ту часть прямой, которая лежит в первой координатной четверти. Точка $(0,0)$ не принадлежит графику, так как $x=0$ не входит в ОДЗ. Эта точка является выколотой.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, исходящий из начала координат (точка $(0,0)$ выколота), расположенный в первой координатной четверти.

в) $y = x^{\log_x 2}$

Найдём область определения функции. В выражении $x^{\log_x 2}$ переменная $x$ является одновременно и основанием степени, и основанием логарифма. Поэтому на $x$ накладываются следующие ограничения: $x$ должен быть больше нуля и не равен единице.

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $a=x$ и $b=2$.

$y = x^{\log_x 2} = 2$

Функция является константой $y=2$ на всей своей области определения.

График этой функции — горизонтальная прямая $y=2$. Учитывая ОДЗ, из этой прямой необходимо исключить точку с абсциссой $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$

Найдём область определения функции. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице. Аргумент логарифма $\frac{1}{x}$ должен быть положительным.

$\begin{cases}x > 0 \\x \neq 1 \\\frac{1}{x} > 0\end{cases}$

Неравенство $\frac{1}{x} > 0$ выполняется, когда $x > 0$. Таким образом, ОДЗ функции: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим выражение для функции. Представим аргумент логарифма в виде степени: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = \log_x (x^{-1})$

Используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$, получаем:

$y = -1 \cdot \log_x x$

Так как $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, то:

$y = -1$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=-1$. С учётом ОДЗ, точка с абсциссой $x=1$ не принадлежит графику, поэтому её нужно выколоть. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=-1$ с выколотой точкой $(1, -1)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.