Номер 15.7, страница 89, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.7, страница 89.

Найдите область определения функции:

15.7. a) $y = \log_6(4x - 1);$

б) $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x);$

в) $y = \log_9(8x + 9);$

г) $y = \log_{0.3}(2 - 3x).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным. То есть, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$. Также, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Во всех представленных функциях основания являются числами, удовлетворяющими этим условиям.

а) Для функции $y = \log_6(4x - 1)$ найдем область определения, решив неравенство:

$4x - 1 > 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$4x > 1$

Разделим обе части на 4:

$x > \frac{1}{4}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, больших $\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x)$ аргумент логарифма должен быть положителен:

$7 - 2x > 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$7 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{7}{2} > x$, что эквивалентно $x < 3.5$

Областью определения является множество всех чисел $x$, меньших 3.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5)$.

в) Для функции $y = \log_9(8x + 9)$ решим соответствующее неравенство:

$8x + 9 > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$8x > -9$

Разделим обе части на 8:

$x > -\frac{9}{8}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, больших $-\frac{9}{8}$.

Ответ: $x \in (-\frac{9}{8}; +\infty)$.

г) Для функции $y = \log_{0.3}(2 - 3x)$ аргумент должен быть больше нуля:

$2 - 3x > 0$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$2 > 3x$

Разделим обе части на 3:

$\frac{2}{3} > x$, что эквивалентно $x < \frac{2}{3}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, меньших $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.