Номер 15.14, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.14, страница 90.

Сравните с единицей число:

15.14. a) $log_3 41$;

б) $log_{2,3} 0,1$;

в) $log_{\frac{1}{7}} 2,6$;

г) $log_{\sqrt{7}} 0,4$.

а) Чтобы сравнить число $\log_3 41$ с единицей, представим единицу как логарифм с основанием 3. Мы знаем, что $1 = \log_3 3$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов: $\log_3 41$ и $\log_3 3$.
Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием больше единицы ($a > 1$) является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
Сравним аргументы: $41 > 3$.
Поскольку функция возрастающая, из $41 > 3$ следует, что $\log_3 41 > \log_3 3$.
Следовательно, $\log_3 41 > 1$.
Ответ: $\log_3 41 > 1$.

б) Сравним $\log_{2,3} 0,1$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием 2,3: $1 = \log_{2,3} 2,3$.
Задача сводится к сравнению $\log_{2,3} 0,1$ и $\log_{2,3} 2,3$.
Основание логарифма $a=2,3$, что больше 1. Логарифмическая функция $y = \log_{2,3} x$ является возрастающей.
Сравним аргументы: $0,1 < 2,3$.
Так как функция возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{2,3} 0,1 < \log_{2,3} 2,3$.
Следовательно, $\log_{2,3} 0,1 < 1$.
Ответ: $\log_{2,3} 0,1 < 1$.

в) Сравним $\log_{\frac{1}{7}} 2,6$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием $\frac{1}{7}$: $1 = \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Задача сводится к сравнению $\log_{\frac{1}{7}} 2,6$ и $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.
Сравним аргументы: $2,6 > \frac{1}{7}$.
Поскольку функция убывающая, из $2,6 > \frac{1}{7}$ следует, что $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < 1$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < 1$.

г) Сравним $\log_{\sqrt{7}} 0,4$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием $\sqrt{7}$: $1 = \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Задача сводится к сравнению $\log_{\sqrt{7}} 0,4$ и $\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Основание логарифма $a=\sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то и $\sqrt{7} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{7} > 1$. Логарифмическая функция с основанием больше единицы ($a > 1$) является возрастающей.
Сравним аргументы: $0,4 < \sqrt{7}$ (поскольку $0,4 < 1$, а $\sqrt{7} > 1$).
Так как функция возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Следовательно, $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < 1$.
Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < 1$.