Номер 15.15, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.15, страница 90.

15.15. a) $ \log_6(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}); $

б) $ \lg(\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1). $

а) $\log_6((\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}))$

Для упрощения выражения под знаком логарифма воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Обозначим $a = \sqrt[3]{9}$ и $b = \sqrt[3]{3}$.

Первый множитель в скобках $(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})$ соответствует $(a-b)$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9})$ выражению $(a^2+ab+b^2)$.

Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:

$a^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81}$

$ab = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{9 \cdot 3} = \sqrt[3]{27}$

$b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$

Действительно, второй множитель равен $a^2+ab+b^2$.

Следовательно, произведение под логарифмом равно разности кубов $a$ и $b$:

$(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}) = (\sqrt[3]{9})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 9 - 3 = 6$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_6(6) = 1$.

Ответ: $1$.

б) $\lg((\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1))$

Для упрощения выражения под знаком логарифма воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.

Напомним, что $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Обозначим $a = \sqrt[3]{9}$ и $b = 1$.

Первый множитель в скобках $(\sqrt[3]{9} + 1)$ соответствует $(a+b)$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1)$ выражению $(a^2-ab+b^2)$.

Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:

$a^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81}$

$ab = \sqrt[3]{9} \cdot 1 = \sqrt[3]{9}$

$b^2 = 1^2 = 1$

Действительно, второй множитель равен $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, произведение под логарифмом равно сумме кубов $a$ и $b$:

$(\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1) = (\sqrt[3]{9})^3 + 1^3 = 9 + 1 = 10$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\lg(10) = \log_{10}(10) = 1$.

Ответ: $1$.