Номер 15.21, страница 91, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.21, страница 91.

15.21. Найдите наибольшее значение функции:

a) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi);$

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5);$

в) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1);$

г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90).$

а)

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Рассмотрим аргумент логарифма, функцию $t(x) = x^2 + \pi$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0). Свое наименьшее значение эта функция принимает в вершине параболы.

Координата вершины параболы $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(0) = 0^2 + \pi = \pi$.

Теперь найдем наибольшее значение исходной функции, подставив наименьшее значение ее аргумента:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{\pi}}(\pi) = \log_{\pi^{-1}}(\pi) = -1 \cdot \log_{\pi}(\pi) = -1$.

Ответ: $-1$.

б)

Дана функция $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5)$.

Основание логарифма $a = 0,3$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Найдем наименьшее значение аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вверх. Наименьшее значение достигается в вершине. Можно найти его, выделив полный квадрат: $t(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение $t(x)$ равно 1 и достигается при $x=2$.

Наименьшее значение аргумента $t_{min} = 1$.

Так как $t_{min} = 1 > 0$, область определения функции — все действительные числа.

Подставим наименьшее значение аргумента в исходную функцию:

$y_{max} = \log_{0,3}(1) = 0$.

Ответ: $0$.

в)

Дана функция $y = \log_{0,1}(x^2 + 1)$.

Основание логарифма $a = 0,1$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Следовательно, функция является убывающей. Наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Рассмотрим аргумент $t(x) = x^2 + 1$. Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0, оно достигается при $x=0$.

Следовательно, наименьшее значение аргумента: $t_{min} = 0^2 + 1 = 1$.

Теперь найдем наибольшее значение исходной функции:

$y_{max} = \log_{0,1}(1) = 0$.

Ответ: $0$.

г)

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, логарифмическая функция является убывающей. Ее наибольшее значение достигается при наименьшем значении ее аргумента.

Найдем наименьшее значение аргумента $t(x) = x^2 - 18x + 90$. Это квадратичная функция, ветви параболы которой направлены вверх. Наименьшее значение она принимает в своей вершине.

Координата вершины параболы: $x_v = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = 9$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(9) = 9^2 - 18 \cdot 9 + 90 = 81 - 162 + 90 = 9$.

Так как $t_{min} = 9 > 0$, функция определена при всех действительных значениях $x$.

Подставим наименьшее значение аргумента в исходную функцию, чтобы найти ее наибольшее значение:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{3^{-1}}(3^2) = \frac{2}{-1}\log_3(3) = -2$.

Ответ: $-2$.