Номер 15.26, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.26, страница 92.

15.26. а) $y = 5^{\log_5 x + 2}$;

Б) $y = 0.1^{\log_{0.1} x^2}$;

В) $y = 3^{1 - \log_3 x}$;

Г) $y = 12^{\log_{12} x^3}$.

а) $y = 5^{\log_5 x + 2}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

1. Применим свойство степеней к исходному выражению:

$y = 5^{\log_5 x} \cdot 5^2$

2. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к первому множителю. В нашем случае $a=5$ и $b=x$, поэтому $5^{\log_5 x} = x$. Второй множитель равен $5^2 = 25$.

Подставив упрощенные части обратно в выражение, получаем:

$y = x \cdot 25 = 25x$

Необходимо учесть область определения исходной функции. Выражение $\log_5 x$ определено только при $x > 0$. Следовательно, итоговая функция $y = 25x$ также определена для $x > 0$.

Ответ: $y = 25x$, при $x > 0$.

б) $y = 0,1^{\log_{0,1} x^2}$

Для решения используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание $a = 0,1$, а выражение под логарифмом $b = x^2$.

Применяя тождество, получаем:

$y = x^2$

Область определения исходной функции задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Таким образом, упрощенная функция $y = x^2$ определена при $x \neq 0$.

Ответ: $y = x^2$, при $x \neq 0$.

в) $y = 3^{1 - \log_3 x}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

1. Применим свойство степеней:

$y = \frac{3^1}{3^{\log_3 x}}$

2. Теперь упростим знаменатель, используя основное логарифмическое тождество $3^{\log_3 x} = x$.

В результате получаем:

$y = \frac{3}{x}$

Область определения исходной функции задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма $\log_3 x$ должен быть положительным. Это ограничение переносится и на итоговую функцию.

Ответ: $y = \frac{3}{x}$, при $x > 0$.

г) $y = 12^{\log_{12} x^3}$

Здесь мы также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание $a = 12$, а выражение под логарифмом $b = x^3$.

Применяя тождество, сразу получаем:

$y = x^3$

Область определения исходной функции требует, чтобы аргумент логарифма был положительным: $x^3 > 0$. Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $x > 0$.

Следовательно, итоговая функция $y = x^3$ определена при $x > 0$.

Ответ: $y = x^3$, при $x > 0$.