Страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.22. Найдите наименьшее значение функции:

a) $y = \log_2(x^2 + 128)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$;

в) $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$;

г) $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$.

а) Функция $y = \log_2(x^2 + 128)$. Поскольку основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента, то есть выражения $t(x) = x^2 + 128$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$), его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $x=0$. Таким образом, наименьшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{min} = 0 + 128 = 128$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_2(128) = \log_2(2^7) = 7$.
Ответ: 7

б) Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$. Поскольку основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Следовательно, наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении ее аргумента, то есть выражения $t(x) = 32 - x^2$. Область определения функции задается неравенством $32 - x^2 > 0$, то есть $x^2 < 32$. Выражение $32 - x^2$ является параболой с ветвями вниз, его наибольшее значение достигается в вершине при $x=0$. Наибольшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{max} = 32 - 0^2 = 32$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_{\frac{1}{2}}(32) = \log_{2^{-1}}(2^5) = \frac{5}{-1} \log_2(2) = -5$.
Ответ: -5

в) Функция $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$. Поскольку основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Наименьшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении ее аргумента $t(x) = x^2 - 4x + 13$. Выражение $t(x)$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола с ветвями вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины параболы: $x_0 = -\frac{B}{2A} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. Найдем наименьшее значение подлогарифмического выражения, подставив $x_0=2$: $t_{min} = 2^2 - 4(2) + 13 = 4 - 8 + 13 = 9$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_3(9) = \log_3(3^2) = 2$.
Ответ: 2

г) Функция $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$. Поскольку основание логарифма $a = 0.2$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Наименьшее значение функции $y$ достигается при наибольшем значении ее аргумента $t(x) = 5\sqrt[4]{125} - x^2$. Выражение $5\sqrt[4]{125} - x^2$ является параболой с ветвями вниз, его наибольшее значение достигается в вершине при $x=0$. Наибольшее значение подлогарифмического выражения равно $t_{max} = 5\sqrt[4]{125} - 0^2 = 5\sqrt[4]{125}$. Упростим это выражение: $5\sqrt[4]{125} = 5^1 \cdot \sqrt[4]{5^3} = 5^1 \cdot 5^{\frac{3}{4}} = 5^{1+\frac{3}{4}} = 5^{\frac{7}{4}}$. Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \log_{0.2}(5^{\frac{7}{4}}) = \log_{\frac{1}{5}}(5^{\frac{7}{4}}) = \log_{5^{-1}}(5^{\frac{7}{4}}) = \frac{7/4}{-1} \log_5(5) = -\frac{7}{4}$.
Ответ: -7/4

15.23. Найдите наибольшее значение функции на заданном промежутке:

a) $y = \log_{2} \frac{1}{2^x + 3}$, $[0; 4]$;

б) $y = \log_{0.5} \frac{1}{2^x - 3}$, $(2; 3]$;

в) $y = \log_{3} \frac{1}{3^x + 6}$, $[1; 7]$;

г) $y = \log_{0.2} \frac{1}{5^x - 24}$, $[2; 3]$.

а) $y = \log_2 \frac{1}{2^x + 3}$ на промежутке $[0; 4]$

Для нахождения наибольшего значения функции исследуем ее на монотонность. Преобразуем данную функцию, используя свойство логарифма $\log_a \frac{1}{b} = -\log_a b$: $y = \log_2 \frac{1}{2^x + 3} = -\log_2(2^x + 3)$.

Рассмотрим внутреннюю функцию $f(x) = 2^x + 3$. Так как показательная функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то и функция $f(x) = 2^x + 3$ также является возрастающей на всей числовой оси.

Логарифмическая функция $g(t) = \log_2 t$ с основанием $2 > 1$ является возрастающей. Следовательно, композиция функций $\log_2(2^x + 3)$ является возрастающей функцией.

Так как перед логарифмом стоит знак минус, исходная функция $y = -\log_2(2^x + 3)$ является убывающей. Убывающая функция на отрезке $[a; b]$ принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка, то есть при $x = a$.

В нашем случае, на отрезке $[0; 4]$ наибольшее значение достигается при $x=0$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(0) = \log_2 \frac{1}{2^0 + 3} = \log_2 \frac{1}{1 + 3} = \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$.

Ответ: -2

б) $y = \log_{0,5} \frac{1}{2^x - 3}$ на промежутке $(2; 3]$

Преобразуем функцию: $y = \log_{0,5} \frac{1}{2^x - 3} = -\log_{0,5}(2^x - 3)$. Область определения функции задается неравенством $2^x - 3 > 0$, то есть $2^x > 3$, или $x > \log_2 3$. Так как $1 < \log_2 3 < 2$, заданный промежуток $(2; 3]$ входит в область определения.

Рассмотрим внутреннюю функцию $f(x) = 2^x - 3$. Она является возрастающей, так как основание $2 > 1$. Логарифмическая функция $g(t) = \log_{0,5} t$ с основанием $0,5$ ($0 < 0,5 < 1$) является убывающей.

Композиция возрастающей функции $f(x)$ и убывающей функции $g(t)$ является убывающей функцией. То есть, $\log_{0,5}(2^x - 3)$ — убывающая функция. Исходная функция $y = -\log_{0,5}(2^x - 3)$ является возрастающей, так как она получена умножением убывающей функции на -1.

Возрастающая функция на промежутке $(a; b]$ принимает свое наибольшее значение в правой границе промежутка, то есть при $x = b$. В нашем случае, на промежутке $(2; 3]$ наибольшее значение достигается при $x=3$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(3) = \log_{0,5} \frac{1}{2^3 - 3} = \log_{0,5} \frac{1}{8 - 3} = \log_{0,5} \frac{1}{5} = \log_{1/2} 5^{-1} = (-1)\log_{1/2} 5 = (-1)\frac{\log_2 5}{\log_2(1/2)} = (-1)\frac{\log_2 5}{-1} = \log_2 5$.

Ответ: $\log_2 5$

в) $y = \log_3 \frac{1}{3^x + 6}$ на промежутке $[1; 7]$

Преобразуем функцию: $y = \log_3 \frac{1}{3^x + 6} = -\log_3(3^x + 6)$. Функция $f(x) = 3^x + 6$ является возрастающей, так как основание показательной функции $3 > 1$. Логарифмическая функция $g(t) = \log_3 t$ с основанием $3 > 1$ является возрастающей.

Композиция двух возрастающих функций $\log_3(3^x + 6)$ является возрастающей функцией. Следовательно, исходная функция $y = -\log_3(3^x + 6)$ является убывающей.

Убывающая функция на отрезке $[1; 7]$ принимает свое наибольшее значение в левой границе отрезка, при $x=1$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(1) = \log_3 \frac{1}{3^1 + 6} = \log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$.

Ответ: -2

г) $y = \log_{0,2} \frac{1}{5^x - 24}$ на промежутке $[2; 3]$

Преобразуем функцию: $y = \log_{0,2} \frac{1}{5^x - 24} = -\log_{0,2}(5^x - 24)$. Область определения: $5^x - 24 > 0 \Rightarrow x > \log_5 24$. Так как $1 < \log_5 24 < 2$, заданный отрезок $[2; 3]$ входит в область определения.

Функция $f(x) = 5^x - 24$ является возрастающей (основание $5 > 1$). Логарифмическая функция $g(t) = \log_{0,2} t$ с основанием $0,2 \in (0; 1)$ является убывающей. Композиция $\log_{0,2}(5^x - 24)$ является убывающей функцией.

Исходная функция $y = -\log_{0,2}(5^x - 24)$ является возрастающей. Возрастающая функция на отрезке $[2; 3]$ принимает свое наибольшее значение в правой границе отрезка, при $x=3$. Вычислим это значение: $y_{max} = y(3) = \log_{0,2} \frac{1}{5^3 - 24} = \log_{0,2} \frac{1}{125 - 24} = \log_{0,2} \frac{1}{101}$.

Упростим полученное выражение: $\log_{0,2} \frac{1}{101} = \log_{1/5} 101^{-1} = -\log_{1/5} 101 = - \frac{\log_5 101}{\log_5(1/5)} = - \frac{\log_5 101}{-1} = \log_5 101$.

Ответ: $\log_5 101$

Найдите область значений функции:

15.24. a) $y = \log_3(x + 1)$;

б) $y = \log_{0,1}(2x + 4)$;

в) $y = \log_2 x - 4$;

г) $y = \log_{0,5}(-x) + 90$.

а) $y = \log_3(x + 1)$

Областью значений (множеством всех возможных значений $y$) для любой логарифмической функции вида $y = \log_a(f(x))$ является множество всех действительных чисел $R = (-\infty; +\infty)$, при условии, что выражение под знаком логарифма $f(x)$ может принимать любые положительные значения.

Найдем область определения данной функции. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Область определения функции $D(y) = (-1; +\infty)$.

Пусть $t = x + 1$. Когда $x$ изменяется в интервале $(-1; +\infty)$, $t$ изменяется в интервале $(0; +\infty)$. Это означает, что аргумент логарифма принимает все возможные положительные значения.

Функция $y = \log_3(t)$ для $t \in (0; +\infty)$ имеет область значений $(-\infty; +\infty)$. Преобразование аргумента ($x \to x+1$) является горизонтальным сдвигом графика и не влияет на область значений функции.

Следовательно, область значений исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

б) $y = \log_{0,1}(2x + 4)$

Данная функция является логарифмической с основанием $a = 0,1$, где $0 < a < 1$. Как и в предыдущем случае, область значений такой функции — это множество всех действительных чисел, если ее аргумент может принимать любые положительные значения.

Найдем область определения, потребовав, чтобы аргумент логарифма был больше нуля:

$2x + 4 > 0$

$2x > -4$

$x > -2$

Область определения $D(y) = (-2; +\infty)$.

Пусть $t = 2x + 4$. Когда $x$ пробегает все значения из области определения, $t$ пробегает все значения от $2(-2)+4=0$ до $+\infty$, не включая 0. То есть, $t \in (0; +\infty)$.

Поскольку аргумент логарифма $t$ принимает все положительные значения, область значений функции $y = \log_{0,1}(t)$ есть множество всех действительных чисел $R$.

Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

в) $y = \log_2 x - 4$

Эта функция представляет собой базовую логарифмическую функцию $y_0 = \log_2 x$, график которой сдвинут по вертикали.

Область определения функции $y_0 = \log_2 x$ задается условием $x > 0$, а её область значений — это множество всех действительных чисел, $E(y_0) = (-\infty; +\infty)$.

Функция $y = \log_2 x - 4$ получается из $y_0$ вычитанием константы 4. Это соответствует сдвигу графика функции $y_0$ на 4 единицы вниз по оси $Oy$. Такой сдвиг не влияет на "вертикальный охват" графика.

Если $\log_2 x$ может быть любым действительным числом, то и выражение $\log_2 x - 4$ также может быть любым действительным числом. Таким образом, область значений функции не изменяется.

Область значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

г) $y = \log_{0,5}(-x) + 90$

Эта функция является логарифмической функцией, которая была сдвинута по вертикали и у которой преобразован аргумент.

Найдем область определения функции из условия, что аргумент логарифма положителен:

$-x > 0$

$x < 0$

Область определения $D(y) = (-\infty; 0)$.

Пусть $t = -x$. Когда $x$ принимает значения из интервала $(-\infty; 0)$, переменная $t$ принимает значения из интервала $(0; +\infty)$.

Тогда функцию можно переписать в виде $y = \log_{0,5}(t) + 90$, где $t \in (0; +\infty)$.

Область значений функции $y_0 = \log_{0,5}(t)$ — это множество всех действительных чисел, $(-\infty; +\infty)$.

Прибавление константы 90 сдвигает график функции $y_0$ на 90 единиц вверх по оси $Oy$. Этот сдвиг не изменяет область значений.

Следовательно, область значений исходной функции также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$

15.25. a) $y = \log_2 2^x$;

б) $y = 3^{\log_3 x}$;

В) $y = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

Г) $y = 0,9^{\log_{0,9} x}$.

а) Дана функция $y = \log_2 2^x$. Для её упрощения используем основное свойство логарифма: $\log_a a^b = b$. В данном случае основание логарифма $a=2$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма. Следовательно, выражение можно упростить: $y = x$. Область определения исходной функции задается условием, что аргумент логарифма должен быть положителен: $2^x > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа. Упрощенная функция $y=x$ также определена для всех $x$.
Ответ: $y = x$.

б) Дана функция $y = 3^{\log_3 x}$. Для её упрощения используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. В этом выражении основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма в показателе степени. Применяя это тождество, получаем: $y = x$. Необходимо учесть область определения исходной функции. Логарифм $\log_3 x$ определён только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, исходная и упрощенная функции эквивалентны только при этом условии.
Ответ: $y = x$ при $x > 0$.

в) Дана функция $y = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Сначала преобразуем выражение в скобках. Мы знаем, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $\left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$. Подставим это обратно в функцию: $y = \log_2 2^{-x}$. Теперь, как и в пункте а), воспользуемся свойством логарифма $\log_a a^b = b$: $y = -x$. Область определения функции находится из условия $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$, которое верно для всех действительных $x$.
Ответ: $y = -x$.

г) Дана функция $y = 0.9^{\log_{0.9} x}$. Как и в пункте б), воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. Основание степени $a=0.9$ совпадает с основанием логарифма в показателе. Таким образом, $y = x$. Область определения исходной функции определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным. Значит, упрощение верно только для $x > 0$.
Ответ: $y = x$ при $x > 0$.

15.26. а) $y = 5^{\log_5 x + 2}$;

Б) $y = 0.1^{\log_{0.1} x^2}$;

В) $y = 3^{1 - \log_3 x}$;

Г) $y = 12^{\log_{12} x^3}$.

а) $y = 5^{\log_5 x + 2}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

1. Применим свойство степеней к исходному выражению:

$y = 5^{\log_5 x} \cdot 5^2$

2. Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ к первому множителю. В нашем случае $a=5$ и $b=x$, поэтому $5^{\log_5 x} = x$. Второй множитель равен $5^2 = 25$.

Подставив упрощенные части обратно в выражение, получаем:

$y = x \cdot 25 = 25x$

Необходимо учесть область определения исходной функции. Выражение $\log_5 x$ определено только при $x > 0$. Следовательно, итоговая функция $y = 25x$ также определена для $x > 0$.

Ответ: $y = 25x$, при $x > 0$.

б) $y = 0,1^{\log_{0,1} x^2}$

Для решения используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание $a = 0,1$, а выражение под логарифмом $b = x^2$.

Применяя тождество, получаем:

$y = x^2$

Область определения исходной функции задается условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 0$.

Таким образом, упрощенная функция $y = x^2$ определена при $x \neq 0$.

Ответ: $y = x^2$, при $x \neq 0$.

в) $y = 3^{1 - \log_3 x}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.

1. Применим свойство степеней:

$y = \frac{3^1}{3^{\log_3 x}}$

2. Теперь упростим знаменатель, используя основное логарифмическое тождество $3^{\log_3 x} = x$.

В результате получаем:

$y = \frac{3}{x}$

Область определения исходной функции задается условием $x > 0$, так как аргумент логарифма $\log_3 x$ должен быть положительным. Это ограничение переносится и на итоговую функцию.

Ответ: $y = \frac{3}{x}$, при $x > 0$.

г) $y = 12^{\log_{12} x^3}$

Здесь мы также используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае основание $a = 12$, а выражение под логарифмом $b = x^3$.

Применяя тождество, сразу получаем:

$y = x^3$

Область определения исходной функции требует, чтобы аргумент логарифма был положительным: $x^3 > 0$. Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда $x > 0$.

Следовательно, итоговая функция $y = x^3$ определена при $x > 0$.

Ответ: $y = x^3$, при $x > 0$.

15.27. a) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi);$

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5);$

В) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1);$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90).$

а) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi)$

Для нахождения области значений данной функции, сначала найдем область значений ее аргумента, то есть выражения $t(x) = x^2 + \pi$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, наименьшее значение выражения $x^2 + \pi$ достигается при $x=0$.

Минимальное значение аргумента: $t_{min} = 0^2 + \pi = \pi$.

Таким образом, область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[\pi, +\infty)$.

Теперь рассмотрим саму логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(t)$. Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Это означает, что логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.

Следовательно, наименьшему значению аргумента $t = \pi$ будет соответствовать наибольшее значение функции $y$, а при стремлении аргумента к $+\infty$ функция будет стремиться к $-\infty$.

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{\pi}}(\pi) = \log_{\pi^{-1}}(\pi) = -1 \cdot \log_{\pi}(\pi) = -1$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1]$.

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5)$

Найдем область значений аргумента логарифма, квадратичной функции $t(x) = x^2 - 4x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины параболы по оси x: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Также можно выделить полный квадрат: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение равно $1$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[1, +\infty)$.

Основание логарифма $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{0,3}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=1$.

$y_{max} = \log_{0,3}(1) = 0$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Значит, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

в) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1)$

Рассмотрим аргумент логарифма $t(x) = x^2 + 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$, наименьшее значение $t(x)$ достигается при $x=0$ и равно $t_{min} = 0^2 + 1 = 1$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[1, +\infty)$.

Основание логарифма $a = 0,1$, и $0 < 0,1 < 1$, поэтому функция $y = \log_{0,1}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=1$.

$y_{max} = \log_{0,1}(1) = 0$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90)$

Найдем область значений аргумента $t(x) = x^2 - 18x + 90$. Это парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), поэтому она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси x: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = 9$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(9) = 9^2 - 18(9) + 90 = 81 - 162 + 90 = 9$.

Выделением полного квадрата: $x^2 - 18x + 90 = (x^2 - 18x + 81) + 9 = (x - 9)^2 + 9$. Так как $(x-9)^2 \ge 0$, то наименьшее значение равно $9$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[9, +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=9$.

$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{3^{-1}}(3^2) = -2 \cdot \log_{3}(3) = -2$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Следовательно, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $-2$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -2]$.

15.28. a) $y = \log_2(x^2 + 128)$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$;

В) $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$;

Г) $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125 - x^2})$.

а) Область определения логарифмической функции находится из условия, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Для функции $y = \log_2(x^2 + 128)$ необходимо решить неравенство $x^2 + 128 > 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то наименьшее значение суммы $x^2 + 128$ равно $0 + 128 = 128$ (при $x=0$).
Так как $128 > 0$, неравенство $x^2 + 128 > 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(32 - x^2)$ найдем область определения из условия $32 - x^2 > 0$.
Это неравенство равносильно неравенству $x^2 < 32$.
Решая его, получаем $|x| < \sqrt{32}$.
Упростим корень: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.
Таким образом, $|x| < 4\sqrt{2}$, что эквивалентно двойному неравенству $-4\sqrt{2} < x < 4\sqrt{2}$.
Ответ: $(-4\sqrt{2}; 4\sqrt{2})$.

в) Для функции $y = \log_3(x^2 - 4x + 13)$ необходимо, чтобы выполнялось неравенство $x^2 - 4x + 13 > 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $f(x) = x^2 - 4x + 13$. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Найдем дискриминант квадратного уравнения $x^2 - 4x + 13 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 16 - 52 = -36$.
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), а ветви параболы направлены вверх, квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 13$ принимает только положительные значения при всех действительных $x$.
Альтернативно, можно выделить полный квадрат: $x^2 - 4x + 13 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 13 = (x - 2)^2 + 9$. Так как $(x - 2)^2 \ge 0$, то $(x - 2)^2 + 9 \ge 9 > 0$. Неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \log_{0.2}(5\sqrt[4]{125} - x^2)$ находится из условия $5\sqrt[4]{125} - x^2 > 0$.
Это неравенство можно переписать в виде $x^2 < 5\sqrt[4]{125}$.
Преобразуем правую часть. Так как $125 = 5^3$, то $\sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5^3} = 5^{3/4}$.
Неравенство принимает вид: $x^2 < 5^1 \cdot 5^{3/4}$.
По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ получаем: $x^2 < 5^{1 + 3/4} = 5^{7/4}$.
Отсюда следует, что $|x| < \sqrt{5^{7/4}}$. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ имеем: $|x| < (5^{7/4})^{1/2} = 5^{7/8}$.
Это эквивалентно двойному неравенству $-5^{7/8} < x < 5^{7/8}$.
Ответ: $(-5^{7/8}; 5^{7/8})$.