Номер 15.25, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.25, страница 92.

15.25. a) $y = \log_2 2^x$;

б) $y = 3^{\log_3 x}$;

В) $y = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

Г) $y = 0,9^{\log_{0,9} x}$.

а) Дана функция $y = \log_2 2^x$. Для её упрощения используем основное свойство логарифма: $\log_a a^b = b$. В данном случае основание логарифма $a=2$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма. Следовательно, выражение можно упростить: $y = x$. Область определения исходной функции задается условием, что аргумент логарифма должен быть положителен: $2^x > 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного числа $x$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа. Упрощенная функция $y=x$ также определена для всех $x$.
Ответ: $y = x$.

б) Дана функция $y = 3^{\log_3 x}$. Для её упрощения используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$. В этом выражении основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма в показателе степени. Применяя это тождество, получаем: $y = x$. Необходимо учесть область определения исходной функции. Логарифм $\log_3 x$ определён только для положительных значений аргумента, то есть при $x > 0$. Следовательно, исходная и упрощенная функции эквивалентны только при этом условии.
Ответ: $y = x$ при $x > 0$.

в) Дана функция $y = \log_2 \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Сначала преобразуем выражение в скобках. Мы знаем, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $\left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$. Подставим это обратно в функцию: $y = \log_2 2^{-x}$. Теперь, как и в пункте а), воспользуемся свойством логарифма $\log_a a^b = b$: $y = -x$. Область определения функции находится из условия $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 0$, которое верно для всех действительных $x$.
Ответ: $y = -x$.

г) Дана функция $y = 0.9^{\log_{0.9} x}$. Как и в пункте б), воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. Основание степени $a=0.9$ совпадает с основанием логарифма в показателе. Таким образом, $y = x$. Область определения исходной функции определяется условием $x > 0$, так как аргумент логарифма должен быть строго положительным. Значит, упрощение верно только для $x > 0$.
Ответ: $y = x$ при $x > 0$.