Номер 15.29, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.29, страница 93.

15.29. a) $log_6 x \ge 2$;

Б) $log_{0.1} x > 3$;

В) $log_9 x \le \frac{1}{2}$;

Г) $log_4 x < 3$.

а) Решим неравенство $\log_6 x \ge 2$. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положителен, то есть $x > 0$. Далее, преобразуем правую часть неравенства к логарифму с основанием 6: $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$. Неравенство принимает вид $\log_6 x \ge \log_6 36$. Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x \ge 36$. Найдём пересечение этого решения с ОДЗ: из условий $x > 0$ и $x \ge 36$ следует, что $x \ge 36$.
Ответ: $x \in [36, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.1} x > 3$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $3 = \log_{0.1} (0.1)^3 = \log_{0.1} 0.001$. Неравенство принимает вид $\log_{0.1} x > \log_{0.1} 0.001$. Поскольку основание логарифма $0.1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 0.001$. Совместим это решение с ОДЗ: из условий $x > 0$ и $x < 0.001$ следует, что $0 < x < 0.001$.
Ответ: $x \in (0; 0.001)$.

в) Решим неравенство $\log_9 x \le \frac{1}{2}$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $\frac{1}{2} = \log_9 9^{1/2} = \log_9 \sqrt{9} = \log_9 3$. Неравенство принимает вид $\log_9 x \le \log_9 3$. Поскольку основание $9 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x \le 3$. Учитывая ОДЗ $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x \le 3$.
Ответ: $x \in (0; 3]$.

г) Решим неравенство $\log_4 x < 3$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $3 = \log_4 4^3 = \log_4 64$. Неравенство принимает вид $\log_4 x < \log_4 64$. Поскольку основание $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x < 64$. Совмещая с ОДЗ $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x < 64$.
Ответ: $x \in (0; 64)$.