Номер 15.36, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.36, страница 93.

15.36. a) $y = -2 \log_7 x;$

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x;$

в) $y = -0,5 \log_2 x;$

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x.$

а) $y = -2 \log_7 x$

Для определения характера монотонности функции $y = -2 \log_7 x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_7 x$. Основание логарифма $a = 7$. Поскольку $a > 1$, функция $f(x) = \log_7 x$ является возрастающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -2$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -2 \log_7 x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_7 x$.

Следовательно, так как $y = \log_7 x$ возрастает, функция $y = -2 \log_7 x$ является убывающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -2 \log_7 x = \log_7 (x^{-2}) = \log_7 \frac{1}{x^2}$. Основание логарифма $a=7 > 1$. Аргумент логарифма $t(x) = \frac{1}{x^2}$ является убывающей функцией при $x > 0$. Так как основание логарифмической функции больше 1, а её аргумент — убывающая функция, то и вся функция $y = \log_7 \frac{1}{x^2}$ является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$

Для определения характера монотонности функции $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$ является убывающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -4$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_{\frac{1}{6}} x$.

Следовательно, так как $y = \log_{\frac{1}{6}} x$ убывает, функция $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ является возрастающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x = -4 \log_{6^{-1}} x = -4 \cdot \frac{\log_6 x}{-1} = 4 \log_6 x$. В полученной функции $y = 4 \log_6 x$ основание логарифма $a=6 > 1$, значит, функция $\log_6 x$ возрастающая. Коэффициент $k=4 > 0$ не меняет характер монотонности, следовательно, функция $y = 4 \log_6 x$ является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = -0,5 \log_2 x$

Для определения характера монотонности функции $y = -0,5 \log_2 x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_2 x$. Основание логарифма $a = 2$. Поскольку $a > 1$, функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -0,5$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -0,5 \log_2 x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_2 x$.

Следовательно, так как $y = \log_2 x$ возрастает, функция $y = -0,5 \log_2 x$ является убывающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -0,5 \log_2 x = \log_2 (x^{-0,5}) = \log_2 \frac{1}{\sqrt{x}}$. Основание логарифма $a=2 > 1$. Аргумент логарифма $t(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является убывающей функцией при $x > 0$. Так как основание логарифмической функции больше 1, а её аргумент — убывающая функция, то и вся функция $y = \log_2 \frac{1}{\sqrt{x}}$ является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$

Для определения характера монотонности функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -1$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_{\frac{2}{3}} x$.

Следовательно, так как $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ убывает, функция $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ является возрастающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = - \log_{\frac{2}{3}} x = (-1) \log_{(\frac{3}{2})^{-1}} x = (-1) \frac{\log_{\frac{3}{2}} x}{-1} = \log_{\frac{3}{2}} x$. В полученной функции $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ основание логарифма $a = \frac{3}{2} > 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.