Номер 15.34, страница 93, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.34, страница 93.

Постройте график функции:

15.34. а) $y = 2 + \log_3 x$

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$

в) $y = -3 + \log_4 x$

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x$

а) $y = 2 + \log_3 x$

График функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вверх.

1. Построим сначала график базовой функции $y_0 = \log_3 x$.
- Область определения функции: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является возрастающей.
- Найдем несколько ключевых точек для графика $y_0 = \log_3 x$, составив таблицу значений:

$x$	$1/3$	$1$	$3$	$9$
$y_0 = \log_3 x$	$-1$	$0$	$1$	$2$

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_3 x$ на 2 единицы вверх. Каждая точка $(x, y_0)$ на графике $y_0$ перейдет в точку $(x, y_0 + 2)$ на графике $y$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = 2 + \log_3 x$:

$x$	$1/3$	$1$	$3$	$9$
$y = 2 + \log_3 x$	$1$	$2$	$3$	$4$

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 2 + \log_3 x \Rightarrow \log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = 1/9$. Точка пересечения: $(1/9, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \log_3 x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/9, 0)$, $(1/3, 1)$, $(1, 2)$, $(3, 3)$, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх.

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$

График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=1/3$ и $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$:

$x$	$1/9$	$1/3$	$1$	$3$
$y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$	$2$	$1$	$0$	$-1$

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 - 1)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$:

$x$	$1/9$	$1/3$	$1$	$3$
$y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $(1/3, 0)$.

Ответ: График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/9, 1)$, $(1/3, 0)$, $(1, -1)$, $(3, -2)$, убывающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вниз.

в) $y = -3 + \log_4 x$

График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика базовой функции $y = \log_4 x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 3 единицы вниз.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_4 x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=4 > 1$, функция является возрастающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_4 x$:

$x$	$1/4$	$1$	$4$	$16$
$y_0 = \log_4 x$	$-1$	$0$	$1$	$2$

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_4 x$ на 3 единицы вниз. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 - 3)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = -3 + \log_4 x$:

$x$	$1/4$	$1$	$4$	$16$
$y = -3 + \log_4 x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = -3 + \log_4 x \Rightarrow \log_4 x = 3 \Rightarrow x = 4^3 = 64$. Точка пересечения: $(64, 0)$.

Ответ: График функции $y = -3 + \log_4 x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, -3)$, $(4, -2)$, $(16, -1)$, $(64, 0)$, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_4 x$ на 3 единицы вниз.

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x$

График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика базовой функции $y = \log_{0,1} x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 0,5 единицы вверх.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_{0,1} x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=0,1$ и $0 < 0,1 < 1$, функция является убывающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_{0,1} x$:

$x$	$0,1$	$1$	$10$	$100$
$y_0 = \log_{0,1} x$	$1$	$0$	$-1$	$-2$

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{0,1} x$ на 0,5 единицы вверх. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 + 0,5)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = 0,5 + \log_{0,1} x$:

$x$	$0,1$	$1$	$10$	$100$
$y = 0,5 + \log_{0,1} x$	$1,5$	$0,5$	$-0,5$	$-1,5$

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 0,5 + \log_{0,1} x \Rightarrow \log_{0,1} x = -0,5 \Rightarrow x = (0,1)^{-0,5} = (10^{-1})^{-1/2} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$. Точка пересечения: $(\sqrt{10}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(0.1, 1.5)$, $(1, 0.5)$, $(\sqrt{10}, 0)$, $(10, -0.5)$, убывающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_{0,1} x$ на 0,5 единицы вверх.