Номер 15.40, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.40, страница 94.

15.40. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x + 3, & \text{если } x \le 1, \\ \log_{\frac{1}{3}} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9)$.

б) Постройте и прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9).

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какую из двух формул, соответствующих условиям $x \le 1$ или $x > 1$, следует использовать.

• Вычисление $f(-8)$.
  Поскольку $-8 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(-8) = -3(-8) + 3 = 24 + 3 = 27$.

• Вычисление $f(-6)$.
  Поскольку $-6 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(-6) = -3(-6) + 3 = 18 + 3 = 21$.

• Вычисление $f(0)$.
  Поскольку $0 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(0) = -3(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.

• Вычисление $f(3)$.
  Поскольку $3 > 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
  $f(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3$. Чтобы найти это значение, решим уравнение $(\frac{1}{3})^y = 3$. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем $(3^{-1})^y = 3^1$, или $3^{-y} = 3^1$. Отсюда $-y=1$, то есть $y=-1$.
  $f(3) = -1$.

• Вычисление $f(9)$.
  Поскольку $9 > 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
  $f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9$. Решим уравнение $(\frac{1}{3})^y = 9$. Так как $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$, получаем $y=-2$.
  $f(9) = -2$.

Ответ: $f(-8) = 27$, $f(-6) = 21$, $f(0) = 3$, $f(3) = -1$, $f(9) = -2$.

б) Постройте и прочитайте график функции.

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.

1. Построение графика для $x \le 1$.
На этом промежутке функция задана формулой $y = -3x + 3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Поскольку у нас есть ограничение $x \le 1$, мы строим луч. Найдем координаты двух точек для построения этого луча:

• Граничная точка: при $x=1$, $y = -3(1) + 3 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.
• Еще одна точка: при $x=0$, $y = -3(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

Проводим луч через точки $(0, 3)$ и $(1, 0)$, продолжая его влево и вверх.

2. Построение графика для $x > 1$.
На этом промежутке функция задана формулой $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3}$, которое меньше 1, следовательно, функция убывающая. Найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Предельное значение при $x \to 1^+$: $y \to \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Это значит, что график начинается из точки $(1, 0)$, но сама точка не включается в эту часть графика. Однако, так как точка $(1, 0)$ является концом первой части графика, функция оказывается непрерывной.
• При $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.
• При $x=9$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$. Получаем точку $(9, -2)$.

Соединяем эти точки плавной кривой.

Итоговый график:

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция принимает все действительные значения.

3. Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как обе ее части являются убывающими функциями на своих промежутках.

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=1$. Это единственная точка пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ (график расположен выше оси Ox) при $x \in (-\infty; 1)$.
- $f(x) < 0$ (график расположен ниже оси Ox) при $x \in (1; +\infty)$.

6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида, так как она не является ни четной ($f(-x) \ne f(x)$), ни нечетной ($f(-x) \ne -f(x)$). Ее график не симметричен ни относительно оси ординат (Oy), ни относительно начала координат.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

8. Экстремумы: так как функция монотонно убывает, она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: График функции построен, его основные свойства проанализированы и представлены выше.