Номер 15.47, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.47, страница 95.

Решите неравенство:

15.47. a) $ \log_2 x \ge -x + 1; $

б) $ \log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4; $

в) $ \log_2 x \le -x + 1; $

г) $ \log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2. $

а) $\log_2 x \ge -x + 1$

Данное неравенство является трансцендентным, и его нельзя решить стандартными алгебраическими методами. Мы решим его, анализируя свойства функций в левой и правой частях.

1. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма: $x > 0$.

2. Рассмотрим две функции: $y_1(x) = \log_2 x$ и $y_2(x) = -x + 1$.

- Функция $y_1(x) = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, следовательно, она возрастает на всей своей области определения.

- Функция $y_2(x) = -x + 1$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она убывает на всей числовой прямой.

3. Найдем точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $y_1(x) = y_2(x)$:
$\log_2 x = -x + 1$
Легко подобрать корень $x=1$. Проверим:
$\log_2 1 = 0$
$-1 + 1 = 0$
$0 = 0$.
Так как возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке, $x=1$ — единственный корень уравнения.

4. Теперь вернемся к неравенству $\log_2 x \ge -x + 1$.
Поскольку при $x=1$ функции равны, а при $x > 1$ возрастающая функция $y_1(x)$ будет принимать значения больше, чем убывающая функция $y_2(x)$, то решением неравенства будут все $x \ge 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(1, \infty)$, например $x=2$:
$\log_2 2 \ge -2 + 1 \Rightarrow 1 \ge -1$ (верно).
Проверим произвольную точку из интервала $(0, 1)$, например $x=0.5$:
$\log_2 0.5 \ge -0.5 + 1 \Rightarrow -1 \ge 0.5$ (неверно).

Таким образом, решение неравенства — это $x \ge 1$. Это удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).
Ответ: $[1, \infty)$.

б) $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y_2(x) = 4x - 4$.

- Функция $y_1(x) = \log_{\frac{3}{7}} x$ является логарифмической с основанием $0 < \frac{3}{7} < 1$, следовательно, она убывает на всей своей области определения.

- Функция $y_2(x) = 4x - 4$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=4$, следовательно, она возрастает.

3. Найдем точку пересечения, решив уравнение $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$.
Подбором находим корень $x=1$:
$\log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$
$4(1) - 4 = 0$
$0 = 0$.
Так как убывающая и возрастающая функции могут пересечься только в одной точке, $x=1$ — единственный корень.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{3}{7}} x > 4x - 4$.
Мы ищем значения $x$, при которых график убывающей функции $y_1(x)$ находится выше графика возрастающей функции $y_2(x)$. Это происходит левее точки их пересечения, то есть при $x < 1$.
С учетом ОДЗ ($x>0$), получаем $0 < x < 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(0, 1)$, например $x = \frac{3}{7}$:
$\log_{\frac{3}{7}} \frac{3}{7} > 4(\frac{3}{7}) - 4 \Rightarrow 1 > \frac{12}{7} - \frac{28}{7} \Rightarrow 1 > -\frac{16}{7}$ (верно).

Ответ: $(0, 1)$.

в) $\log_2 x \le -x + 1$

Это неравенство является противоположным неравенству из пункта а). Мы уже проанализировали функции $y_1(x) = \log_2 x$ (возрастающая) и $y_2(x) = -x + 1$ (убывающая) и нашли, что они пересекаются в точке $x=1$.

Нам нужно найти, где $y_1(x) \le y_2(x)$.

Из анализа в пункте а) мы знаем, что:
- при $x=1$, $y_1(x) = y_2(x)$.
- при $x < 1$, возрастающая функция $y_1(x)$ меньше убывающей $y_2(x)$.

Объединяя эти условия и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем решение $0 < x \le 1$.
Ответ: $(0, 1]$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Рассмотрим функции $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y_2(x) = 2x - 2$.

- Функция $y_1(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ — убывающая, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$.

- Функция $y_2(x) = 2x - 2$ — возрастающая, так как коэффициент при $x$ положителен.

3. Найдем точку пересечения из уравнения $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$.
Подбором находим корень $x=1$:
$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$
$2(1) - 2 = 0$
$0=0$.
Это единственная точка пересечения.

4. Решаем неравенство $\log_{\frac{1}{3}} x < 2x - 2$.
Мы ищем значения $x$, при которых график убывающей функции $y_1(x)$ находится ниже графика возрастающей функции $y_2(x)$. Это происходит правее точки их пересечения, то есть при $x > 1$.
Проверим произвольную точку из интервала $(1, \infty)$, например $x=3$:
$\log_{\frac{1}{3}} 3 < 2(3) - 2 \Rightarrow -1 < 6 - 2 \Rightarrow -1 < 4$ (верно).

Решение удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $(1, \infty)$.