Номер 15.50, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.50, страница 95.

15.50. a) $\log_{\frac{1}{2}}\left(x - \frac{1}{2}\right) > x^2;$

б) $\lg x + 1 \le -x^2 + 2;$

В) $\log_{0.3} x \le x^2 - 1;$

Г) $\lg (-x) \ge -x^2 + 1.$

а) Рассмотрим неравенство $\log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) > x^2$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x - \frac{1}{2} > 0 \implies x > \frac{1}{2}$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём две функции: левую часть неравенства $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2})$ и правую часть $g(x) = x^2$. Нам необходимо найти значения $x$, для которых $f(x) > g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > \frac{1}{2}$):
• Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2})$ является убывающей, так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ находится в интервале $(0, 1)$.
• Функция $g(x) = x^2$ является возрастающей на промежутке $x > \frac{1}{2}$.

4. Найдём точку пересечения графиков функций. Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_{\frac{1}{2}} (x - \frac{1}{2}) = x^2$.
Методом подбора находим корень. При $x = 1$:
Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} (1 - \frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}) = 1$.
Правая часть: $1^2 = 1$.
Равенство верно, следовательно, $x=1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) > g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то до этой точки значения $f(x)$ были больше значений $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x < 1$.

6. Объединим с ОДЗ. Учитывая условие $x > \frac{1}{2}$, получаем итоговый интервал: $\frac{1}{2} < x < 1$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 1)$.

б) Рассмотрим неравенство $\lg x + 1 \le -x^2 + 2$.

1. Преобразуем неравенство:
$\lg x \le -x^2 + 2 - 1$
$\lg x \le -x^2 + 1$.

2. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x > 0$.

3. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \lg x$ и $g(x) = -x^2 + 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

4. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > 0$):
• Функция $f(x) = \lg x$ (десятичный логарифм, основание 10 > 1) является возрастающей.
• Функция $g(x) = -x^2 + 1$ (парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0, 1)$) является убывающей на промежутке $x > 0$.

5. Найдём точку пересечения. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\lg x = -x^2 + 1$.
Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $\lg 1 = 0$.
Правая часть: $-1^2 + 1 = 0$.
$x=1$ — единственная точка пересечения.

6. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \le g(x)$. Поскольку возрастающая функция $f(x)$ пересекает убывающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то до этой точки и в ней самой значения $f(x)$ были меньше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \le 1$.

7. Объединим с ОДЗ. Учитывая условие $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x \le 1$.

Ответ: $(0, 1]$.

в) Рассмотрим неравенство $\log_{0.3} x \le x^2 - 1$.

1. Найдём ОДЗ:
$x > 0$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \log_{0.3} x$ и $g(x) = x^2 - 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x > 0$):
• Функция $f(x) = \log_{0.3} x$ является убывающей, так как основание $0.3$ находится в интервале $(0, 1)$.
• Функция $g(x) = x^2 - 1$ (парабола с ветвями вверх и вершиной в $(0, -1)$) является возрастающей на промежутке $x > 0$.

4. Найдём точку пересечения. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\log_{0.3} x = x^2 - 1$.
Подбором находим корень. При $x=1$:
Левая часть: $\log_{0.3} 1 = 0$.
Правая часть: $1^2 - 1 = 0$.
$x=1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \le g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=1$, то после этой точки и в ней самой значения $f(x)$ будут меньше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \ge 1$.

6. Объединим с ОДЗ. Решение $x \ge 1$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $[1, +\infty)$.

г) Рассмотрим неравенство $\lg(-x) \ge -x^2 + 1$.

1. Найдём ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$-x > 0 \implies x < 0$.

2. Решим неравенство методом анализа функций. Введём функции $f(x) = \lg(-x)$ и $g(x) = -x^2 + 1$. Нам нужно найти $x$, для которых $f(x) \ge g(x)$.

3. Проанализируем монотонность функций на ОДЗ ($x < 0$):
• Функция $f(x) = \lg(-x)$ является убывающей. (Это композиция возрастающей функции $y=\lg(u)$ и убывающей $u=-x$).
• Функция $g(x) = -x^2 + 1$ (парабола с ветвями вниз) является возрастающей на промежутке $x < 0$.

4. Найдём точку пересечения. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Решим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\lg(-x) = -x^2 + 1$.
Подбором находим корень. При $x=-1$:
Левая часть: $\lg(-(-1)) = \lg 1 = 0$.
Правая часть: $-(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.
$x=-1$ — единственная точка пересечения.

5. Определим решение неравенства. Мы ищем, где $f(x) \ge g(x)$. Поскольку убывающая функция $f(x)$ пересекает возрастающую функцию $g(x)$ в точке $x=-1$, то до этой точки и в ней самой значения $f(x)$ были больше или равны значениям $g(x)$. Таким образом, неравенство выполняется при $x \le -1$.

6. Объединим с ОДЗ. Решение $x \le -1$ полностью удовлетворяет условию ОДЗ ($x < 0$).

Ответ: $(-\infty, -1]$.