Номер 16.4, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.4, страница 96.

16.4. a) $\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3};$

б) $\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14;$

В) $\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243;$

Г) $\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03.$

а) Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\sqrt{3}} 6 - \log_{\sqrt{3}} 2\sqrt{3} = \log_{\sqrt{3}} \frac{6}{2\sqrt{3}}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$
Таким образом, получаем:
$\log_{\sqrt{3}} \sqrt{3} = 1$
Ответ: 1

б) Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\sqrt{2}} 7\sqrt{2} - \log_{\sqrt{2}} 14 = \log_{\sqrt{2}} \frac{7\sqrt{2}}{14}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{7\sqrt{2}}{14} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = (\sqrt{2})^{-1}$
Таким образом, получаем:
$\log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{-1} = -1$
Ответ: -1

в) Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{\frac{2}{3}} 32 - \log_{\frac{2}{3}} 243 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{32}{243}$
Представим числа 32 и 243 в виде степеней:
$32 = 2^5$
$243 = 3^5$
Тогда дробь можно записать так:
$\frac{32}{243} = \frac{2^5}{3^5} = \left(\frac{2}{3}\right)^5$
Таким образом, получаем:
$\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 5$
Ответ: 5

г) Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.
$\log_{0,1} 0,003 - \log_{0,1} 0,03 = \log_{0,1} \frac{0,003}{0,03}$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{0,003}{0,03} = \frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-2}} = 10^{-3 - (-2)} = 10^{-1} = 0,1$
Таким образом, получаем:
$\log_{0,1} 0,1 = 1$
Ответ: 1