Номер 16.5, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.5, страница 96.

16.5. а) $\log_{\sqrt{2}} 2$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} ;$

в) $\log_{3\sqrt{2}} 18$;

г) $\lg \frac{1}{100\sqrt{10}}$.

a) Чтобы найти значение логарифма $ \log_{\sqrt{2}} 2 $, необходимо определить, в какую степень нужно возвести основание $ \sqrt{2} $, чтобы получить число 2. Обозначим искомое значение как $x$, тогда по определению логарифма $ (\sqrt{2})^x = 2 $.
Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае числа 2.
Основание: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.
Аргумент: $ 2 = 2^1 $.
Теперь наше уравнение выглядит так: $ (2^{1/2})^x = 2^1 $, что равносильно $ 2^{x/2} = 2^1 $.
Приравнивая показатели степеней, получаем $ \frac{x}{2} = 1 $, откуда $ x = 2 $.
Другой способ — использовать свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $.
$ \log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} \log_2 2 $.
Поскольку $ \log_2 2 = 1 $, то $ \frac{1}{1/2} \cdot 1 = 2 $.
Ответ: 2.

б) Для вычисления $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} $ приведем основание и аргумент к одному основанию — числу 2.
Основание: $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{2+1/2}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Теперь исходный логарифм можно переписать в виде:
$ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4\sqrt{2}} = \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} $.
Применим свойство логарифма $ \log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b $:
$ \log_{2^{-1}} 2^{-5/2} = \frac{-5/2}{-1} \log_2 2 $.
Так как $ \log_2 2 = 1 $, получаем:
$ \frac{-5/2}{-1} = \frac{5}{2} = 2.5 $.
Ответ: $ \frac{5}{2} $.

в) Чтобы найти значение $ \log_{3\sqrt{2}} 18 $, нам нужно найти показатель степени $x$, для которого выполняется равенство $ (3\sqrt{2})^x = 18 $.
Проверим, не является ли аргумент 18 некоторой простой степенью основания $ 3\sqrt{2} $. Возведем основание во вторую степень:
$ (3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 $.
Мы получили число, стоящее под знаком логарифма.
Таким образом, $ (3\sqrt{2})^2 = 18 $, что по определению логарифма означает, что $ \log_{3\sqrt{2}} 18 = 2 $.
Ответ: 2.

г) Выражение $ \lg \frac{1}{100\sqrt{10}} $ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10.
$ \lg \frac{1}{100\sqrt{10}} = \log_{10} \frac{1}{100\sqrt{10}} $.
Для вычисления представим аргумент логарифма как степень числа 10.
$ 100\sqrt{10} = 10^2 \cdot 10^{1/2} = 10^{2+1/2} = 10^{5/2} $.
Тогда дробь будет равна:
$ \frac{1}{100\sqrt{10}} = \frac{1}{10^{5/2}} = 10^{-5/2} $.
Подставим это значение обратно в логарифм:
$ \log_{10} (10^{-5/2}) $.
Используя основное свойство логарифма $ \log_a a^x = x $, получаем:
$ \log_{10} (10^{-5/2}) = -\frac{5}{2} = -2.5 $.
Ответ: $ -\frac{5}{2} $.