Номер 16.8, страница 96, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.8, страница 96.

16.8. a) $\log_{\frac{1}{2}} 16 \cdot \log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} : 3^{\log_{3} 2};$

б) $\log_{3} 27 : \log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_{7} \sqrt[3]{49};$

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 \cdot \log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} : 7^{2 \log_{7} 2};$

г) $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}} \cdot \log_{0,3} \frac{1}{0,09} \cdot \lg 10\sqrt{0,1}.$

а) $\log_{\frac{1}{2}} 16 \cdot \log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} : 3^{\log_3 2}$
Для решения данного выражения вычислим значение каждого множителя и делителя по отдельности.
1. Вычислим $\log_{\frac{1}{2}} 16$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^c = c \log_a b$.
$\log_{\frac{1}{2}} 16 = \log_{2^{-1}} 2^4 = \frac{4}{-1} \log_2 2 = -4 \cdot 1 = -4$.
2. Вычислим $\log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25}$. Используем свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$.
$\log_{5} \frac{\sqrt[3]{5}}{25} = \log_{5} (5^{\frac{1}{3}}) - \log_{5} (5^2) = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1-6}{3} = -\frac{5}{3}$.
3. Вычислим $3^{\log_3 2}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:
$3^{\log_3 2} = 2$.
4. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним действия:
$(-4) \cdot (-\frac{5}{3}) : 2 = \frac{20}{3} : 2 = \frac{20}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{3}$.
Ответ: $\frac{10}{3}$.

б) $\log_{3} 27 : \log_{\frac{1}{2}} 4 \cdot \log_{7} \sqrt[3]{49}$
Вычислим значение каждого члена выражения последовательно.
1. $\log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3$.
2. $\log_{\frac{1}{2}} 4 = \log_{2^{-1}} 2^2 = \frac{2}{-1} \log_2 2 = -2$.
3. $\log_{7} \sqrt[3]{49} = \log_{7} (49^{\frac{1}{3}}) = \log_{7} ((7^2)^{\frac{1}{3}}) = \log_{7} 7^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}$.
4. Подставим значения и выполним действия в порядке их следования (слева направо):
$3 : (-2) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = -1$.
Ответ: $-1$.

в) $\log_{\frac{1}{3}} 9 \cdot \log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} : 7^{2\log_7 2}$
Решим по частям.
1. $\log_{\frac{1}{3}} 9 = \log_{3^{-1}} 3^2 = \frac{2}{-1} \log_3 3 = -2$.
2. $\log_{2} \frac{\sqrt[3]{2}}{8} = \log_{2} (2^{\frac{1}{3}}) - \log_{2} (2^3) = \frac{1}{3} - 3 = -\frac{8}{3}$.
3. $7^{2\log_7 2}$. Используем свойство степени логарифма $c \log_a b = \log_a b^c$, а затем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$7^{2\log_7 2} = 7^{\log_7 2^2} = 7^{\log_7 4} = 4$.
4. Подставим полученные значения в выражение:
$(-2) \cdot (-\frac{8}{3}) : 4 = \frac{16}{3} : 4 = \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

г) $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}} \cdot \log_{0,3} \frac{1}{0,09} \cdot \lg 10\sqrt{0,1}$
Вычислим каждый множитель.
1. $\log_{6} \frac{1}{6\sqrt{216}}$. Преобразуем аргумент логарифма: $216 = 6^3$, поэтому $\sqrt{216} = (6^3)^{\frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}}$.
$\frac{1}{6\sqrt{216}} = \frac{1}{6^1 \cdot 6^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6^{1+\frac{3}{2}}} = \frac{1}{6^{\frac{5}{2}}} = 6^{-\frac{5}{2}}$.
$\log_{6} 6^{-\frac{5}{2}} = -\frac{5}{2}$.
2. $\log_{0,3} \frac{1}{0,09}$. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$.
$\log_{0,3} \frac{1}{(0,3)^2} = \log_{0,3} (0,3)^{-2} = -2$.
3. $\lg 10\sqrt{0,1}$. $\lg$ - это логарифм по основанию 10. $0,1 = 10^{-1}$.
$\lg(10 \cdot \sqrt{10^{-1}}) = \log_{10}(10^1 \cdot 10^{-\frac{1}{2}}) = \log_{10}(10^{1-\frac{1}{2}}) = \log_{10} 10^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.
4. Перемножим полученные результаты:
$(-\frac{5}{2}) \cdot (-2) \cdot \frac{1}{2} = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: $2,5$.