Номер 16.13, страница 97, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 16. Свойства логарифмов. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 16.13, страница 97.

16.13. a) $2^{3 \log_2 4}$;

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$;

В) $5^{2 \log_5 3}$;

Г) $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$.

а) Для вычисления значения выражения $2^{3 \log_2 4}$ воспользуемся свойством логарифма: $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$.
Применим это свойство к показателю степени:
$3 \log_2 4 = \log_2 4^3$.
Теперь исходное выражение можно переписать в виде:
$2^{\log_2 4^3}$.
Далее используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.
$2^{\log_2 4^3} = 4^3$.
Вычислим результат:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Ответ: 64

б) Для вычисления значения выражения $(\frac{1}{2})^{2 \log_{\frac{1}{2}} 7}$ воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущем пункте.
Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:
$2 \log_{\frac{1}{2}} 7 = \log_{\frac{1}{2}} 7^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 7^2}$.
Теперь применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где основание $a = \frac{1}{2}$:
$(\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 7^2} = 7^2$.
Вычислим результат:
$7^2 = 49$.
Ответ: 49

в) Для вычисления значения выражения $5^{2 \log_5 3}$ применим свойство $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$ к показателю степени:
$2 \log_5 3 = \log_5 3^2$.
Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:
$5^{2 \log_5 3} = 5^{\log_5 3^2}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где $a=5$, получаем:
$5^{\log_5 3^2} = 3^2$.
Вычислим результат:
$3^2 = 9$.
Ответ: 9

г) Для вычисления значения выражения $(0,3)^{3 \log_{0,3} 6}$ используем те же логарифмические свойства.
Преобразуем показатель степени с помощью свойства $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$:
$3 \log_{0,3} 6 = \log_{0,3} 6^3$.
Перепишем исходное выражение:
$(0,3)^{3 \log_{0,3} 6} = (0,3)^{\log_{0,3} 6^3}$.
Применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где основание $a = 0,3$:
$(0,3)^{\log_{0,3} 6^3} = 6^3$.
Вычислим конечный результат:
$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$.
Ответ: 216