Номер 15.46, страница 95, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.46, страница 95.

○15.46. При каких значениях x график заданной логарифмической функции расположен ниже графика указанной линейной функции:

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$;

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = -3x - 2?$

а) $y = \log_4(x - 1)$, $y = -x + 2$

Чтобы найти значения $x$, при которых график логарифмической функции расположен ниже графика линейной функции, необходимо решить неравенство:

$\log_4(x - 1) < -x + 2$

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, +\infty)$.

2. Для решения неравенства рассмотрим две функции: $f(x) = \log_4(x - 1)$ и $g(x) = -x + 2$.

Функция $f(x) = \log_4(x - 1)$ является возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $4 > 1$.

Функция $g(x) = -x + 2$ является убывающей на всей числовой прямой, так как это линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом $(-1)$.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$\log_4(x - 1) = -x + 2$

Методом подбора можно найти корень. Проверим значение $x=2$:

Левая часть: $\log_4(2 - 1) = \log_4(1) = 0$.

Правая часть: $-2 + 2 = 0$.

Поскольку левая и правая части равны, $x=2$ является единственным решением уравнения.

3. Теперь определим, на каком интервале выполняется неравенство $\log_4(x - 1) < -x + 2$. Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, и они пересекаются в точке $x=2$, то при $x < 2$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$ (график $f(x)$ ниже графика $g(x)$), а при $x > 2$ — неравенство $f(x) > g(x)$.

4. Учитывая ОДЗ ($x > 1$) и найденное решение неравенства ($x < 2$), получаем итоговый интервал:

$\begin{cases} x < 2 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (1, 2)$.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$, $y = -3x - 2$

Задача сводится к решению неравенства:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) < -3x - 2$

1. Найдем ОДЗ: $x + 4 > 0 \implies x > -4$.

ОДЗ: $x \in (-4, +\infty)$.

2. Для анализа неравенства найдем точки пересечения графиков функций $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)$ и $g(x) = -3x - 2$, решив уравнение:

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) = -3x - 2$

Методом подбора проверим $x=0$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}}(0 + 4) = \log_{\frac{1}{2}}(4) = -2$.

Правая часть: $-3(0) - 2 = -2$.

Равенство выполняется, значит $x=0$ является одной из точек пересечения.

3. Преобразуем исходное неравенство для удобства анализа. Поскольку основание логарифма $\frac{1}{2} \in (0, 1)$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:

$x + 4 > \left(\frac{1}{2}\right)^{-3x - 2}$

$x + 4 > (2^{-1})^{-3x - 2}$

$x + 4 > 2^{3x + 2}$

Другой способ преобразования — умножить исходное неравенство на -1, что также меняет знак неравенства, и использовать свойство логарифмов $-\log_a b = \log_{1/a} b$:

$-\log_{\frac{1}{2}}(x + 4) > -(-3x - 2)$

$\log_2(x + 4) > 3x + 2$

4. Рассмотрим функции $f_2(x) = \log_2(x + 4)$ и $g_2(x) = 3x + 2$. Нам нужно найти, где $f_2(x) > g_2(x)$.

Функция $f_2(x)$ — возрастающая и вогнутая, а $g_2(x)$ — возрастающая линейная функция. Такие функции могут пересекаться не более двух раз. Одну точку пересечения мы нашли: $x_2=0$.

Проанализируем поведение функций на границе ОДЗ. При $x \to -4^+$:

$f_2(x) = \log_2(x + 4) \to -\infty$.

$g_2(x) = 3x + 2 \to 3(-4) + 2 = -10$.

Вблизи $x=-4$ график $f_2(x)$ находится ниже графика $g_2(x)$. Поскольку в точке $x=0$ графики пересекаются, а на левой границе области определения $f_2(x)$ ниже $g_2(x)$, должна существовать еще одна точка пересечения $x_1$ на интервале $(-4, 0)$.

Между этими двумя точками пересечения $x_1$ и $x_2=0$ график вогнутой функции $f_2(x)$ будет лежать выше прямой $g_2(x)$. Таким образом, неравенство $\log_2(x + 4) > 3x + 2$ (и эквивалентное ему исходное неравенство) выполняется на интервале $(x_1, 0)$.

Корень $x_1$ является решением трансцендентного уравнения $\log_2(x+4)=3x+2$ и не может быть найден простым подбором. Такие задачи, как правило, имеют решения, которые можно найти аналитически, что указывает на возможную опечатку в условии. Однако, решая задачу в ее исходном виде, мы получаем интервал, ограниченный двумя корнями уравнения.

Ответ: $x \in (x_1, 0)$, где $x_1$ — единственный отрицательный корень уравнения $\log_{\frac{1}{2}}(x+4) = -3x-2$.