Номер 15.42, страница 94, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.42, страница 94.

Постройте график функции:

15.42. a) $y = \log_2|x|$;

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}}(1 + x)|$;

в) $y = \log_{\frac{1}{3}}(1 + |x|)$;

г) $y = |\log_3(-x)|$.

а) $y = \log_2|x|$

1. Построение графика начнем с основной функции $y_1 = \log_2(x)$. Это стандартная возрастающая логарифмическая функция. Ее область определения $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$).

2. Искомая функция $y = \log_2|x|$ получается из $y_1$ заменой аргумента $x$ на $|x|$. Такое преобразование ($f(x) \to f(|x|)$) выполняется следующим образом: часть графика для $x > 0$ сохраняется, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$) для получения части графика при $x < 0$.

3. Функция $y = \log_2|x|$ является чётной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это подтверждает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

4. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

5. График состоит из двух ветвей:

• При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_2(x)$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \log_2(-x)$.

Ключевые точки: $(1, 0), (2, 1), (4, 2)$ на правой ветви и $(-1, 0), (-2, 1), (-4, 2)$ на левой.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей. Первая ветвь — это график функции $y = \log_2(x)$ для $x > 0$. Вторая ветвь симметрична первой относительно оси ординат. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей.

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}}(1+x)|$

1. Построение будем выполнять по шагам. Сначала рассмотрим функцию $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(x)$. Это убывающая логарифмическая функция (основание $1/2 < 1$) с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2. Затем построим график функции $y_2 = \log_{\frac{1}{2}}(1+x)$. Он получается из графика $y_1$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Область определения: $1+x > 0$, то есть $x > -1$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$. График проходит через начало координат, так как $y_2(0) = \log_{\frac{1}{2}}(1+0) = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$.

3. Наконец, применим преобразование модуля: $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}}(1+x)|$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси абсцисс ($y_2 < 0$), должна быть симметрично отражена относительно этой оси. Часть графика, которая находится выше или на оси ($y_2 \ge 0$), остается без изменений.

4. Определим знаки функции $y_2$. Так как основание логарифма $1/2 < 1$, функция $y_2$ убывает.

• $y_2 \ge 0$ при $0 < 1+x \le 1$, то есть при $-1 < x \le 0$. Эта часть графика не меняется.
• $y_2 < 0$ при $1+x > 1$, то есть при $x > 0$. Эта часть графика отражается относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции расположен в области $x > -1$. Он имеет вертикальную асимптоту $x = -1$. График проходит через точку $(0,0)$, где образуется "излом". Для $-1 < x \le 0$ график совпадает с графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(1+x)$, а для $x > 0$ он является отражением графика этой функции относительно оси абсцисс, то есть совпадает с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}}(1+x) = \log_2(1+x)$.

в) $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|)$

1. Данная функция имеет вид $y = f(|x|)$, где $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Для построения такого графика сначала строят график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$ для $x \ge 0$.

2. При $x \ge 0$, наша функция имеет вид $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Это часть убывающей логарифмической кривой. График начинается в точке $(0, \log_{\frac{1}{3}}(1)) = (0,0)$. Другие точки на этой части графика: $(2, \log_{\frac{1}{3}}(1+2))=(2, -1)$, $(8, \log_{\frac{1}{3}}(1+8))=(8, -2)$.

3. Исходная функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|)$ является чётной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{3}}(1+|-x|) = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|) = y(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат.

4. Чтобы получить полный график, мы берем построенную часть для $x \ge 0$ и симметрично отражаем её относительно оси $Oy$.

5. Область определения функции: $1+|x|>0$. Так как $|x| \ge 0$, то $1+|x| \ge 1$, поэтому неравенство выполняется для всех действительных $x$. Область определения — вся числовая прямая, $x \in (-\infty; \infty)$. Функция достигает своего максимума в точке $x=0$, $y(0)=0$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет точку максимума (вершину) в точке $(0,0)$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Для $x < 0$ график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси $Oy$. Вертикальных асимптот нет.

г) $y = |\log_3(-x)|$

1. Построение начнем с базовой функции $y_1 = \log_3(x)$. Это возрастающая логарифмическая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2. Далее рассмотрим функцию $y_2 = \log_3(-x)$. Ее график получается отражением графика $y_1$ относительно оси $Oy$. Область определения: $-x > 0$, то есть $x < 0$. Вертикальная асимптота — ось $Oy$ ($x=0$). График проходит через точку $(-1, 0)$, так как $\log_3(-(-1))=\log_3(1)=0$.

3. Наконец, применяем преобразование модуля: $y = |y_2| = |\log_3(-x)|$. Часть графика $y_2$, лежащая под осью $Ox$, отражается симметрично относительно этой оси.

4. Определим знаки функции $y_2 = \log_3(-x)$.

• $y_2 \ge 0$ при $-x \ge 1$, то есть при $x \le -1$. Эта часть графика остается без изменений.
• $y_2 < 0$ при $0 < -x < 1$, то есть при $-1 < x < 0$. Эта часть графика отражается относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции определен для $x < 0$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. График касается оси абсцисс в точке $(-1,0)$, где образуется "излом". Для $x \le -1$ график совпадает с графиком функции $y = \log_3(-x)$. Для $-1 < x < 0$ он является отражением графика этой функции относительно оси абсцисс, то есть совпадает с графиком $y = -\log_3(-x)$.