Номер 15.27, страница 92, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.27, страница 92.

15.27. a) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi);$

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5);$

В) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1);$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90).$

а) $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(x^2 + \pi)$

Для нахождения области значений данной функции, сначала найдем область значений ее аргумента, то есть выражения $t(x) = x^2 + \pi$.

Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, наименьшее значение выражения $x^2 + \pi$ достигается при $x=0$.

Минимальное значение аргумента: $t_{min} = 0^2 + \pi = \pi$.

Таким образом, область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[\pi, +\infty)$.

Теперь рассмотрим саму логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{\pi}}(t)$. Основание логарифма $a = \frac{1}{\pi}$. Поскольку $\pi \approx 3.14159$, то $0 < \frac{1}{\pi} < 1$. Это означает, что логарифмическая функция с таким основанием является убывающей.

Следовательно, наименьшему значению аргумента $t = \pi$ будет соответствовать наибольшее значение функции $y$, а при стремлении аргумента к $+\infty$ функция будет стремиться к $-\infty$.

Найдем наибольшее значение функции:

$y_{max} = \log_{\frac{1}{\pi}}(\pi) = \log_{\pi^{-1}}(\pi) = -1 \cdot \log_{\pi}(\pi) = -1$.

Таким образом, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $-1$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -1]$.

б) $y = \log_{0,3}(x^2 - 4x + 5)$

Найдем область значений аргумента логарифма, квадратичной функции $t(x) = x^2 - 4x + 5$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$. Свое наименьшее значение она принимает в вершине.

Координата вершины параболы по оси x: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$.

Также можно выделить полный квадрат: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то наименьшее значение равно $1$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[1, +\infty)$.

Основание логарифма $a = 0,3$, и $0 < 0,3 < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{0,3}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=1$.

$y_{max} = \log_{0,3}(1) = 0$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Значит, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

в) $y = \log_{0,1}(x^2 + 1)$

Рассмотрим аргумент логарифма $t(x) = x^2 + 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$, наименьшее значение $t(x)$ достигается при $x=0$ и равно $t_{min} = 0^2 + 1 = 1$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[1, +\infty)$.

Основание логарифма $a = 0,1$, и $0 < 0,1 < 1$, поэтому функция $y = \log_{0,1}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=1$.

$y_{max} = \log_{0,1}(1) = 0$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $0$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, 0]$.

г) $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2 - 18x + 90)$

Найдем область значений аргумента $t(x) = x^2 - 18x + 90$. Это парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$), поэтому она имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата вершины параболы по оси x: $x_v = -\frac{B}{2A} = -\frac{-18}{2 \cdot 1} = 9$.

Наименьшее значение аргумента: $t_{min} = t(9) = 9^2 - 18(9) + 90 = 81 - 162 + 90 = 9$.

Выделением полного квадрата: $x^2 - 18x + 90 = (x^2 - 18x + 81) + 9 = (x - 9)^2 + 9$. Так как $(x-9)^2 \ge 0$, то наименьшее значение равно $9$.

Область значений аргумента $t(x)$ есть промежуток $[9, +\infty)$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{3}$, и $0 < \frac{1}{3} < 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$ является убывающей.

Наибольшее значение функции $y$ достигается при наименьшем значении аргумента $t=9$.

$y_{max} = \log_{\frac{1}{3}}(9) = \log_{3^{-1}}(3^2) = -2 \cdot \log_{3}(3) = -2$.

При $t \to +\infty$, $y \to -\infty$.

Следовательно, область значений функции $y$ — это промежуток от $-\infty$ до $-2$ включительно.

Ответ: $E(y) = (-\infty, -2]$.