Страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют корнем n-й степени из комплексного числа?

1.

Корнем $n$-й степени (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из комплексного числа $z$ называется любое комплексное число $w$, которое при возведении в степень $n$ дает число $z$. То есть, $w$ является корнем $n$-й степени из $z$, если выполняется равенство: $w^n = z$

Обозначается корень $n$-й степени как $\sqrt[n]{z}$.

В отличие от действительных чисел, в поле комплексных чисел корень $n$-й степени из любого ненулевого комплексного числа $z$ всегда существует и имеет ровно $n$ различных значений. Для нахождения этих значений удобнее всего использовать тригонометрическую (или показательную) форму комплексного числа.

Пусть дано комплексное число $z$ в тригонометрической форме: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

где $r = |z|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.

Мы ищем его корни $w_k$ также в тригонометрической форме: $w = \rho(\cos\theta + i\sin\theta)$

Согласно определению, должно выполняться $w^n = z$. Применяя формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, получаем: $w^n = \rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$

Приравнивая это выражение к $z$, получаем: $\rho^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)) = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на целое число, кратное $2\pi$. Отсюда следуют два условия:

1. $\rho^n = r \implies \rho = \sqrt[n]{r}$ (здесь $\sqrt[n]{r}$ — это арифметический корень из положительного действительного числа $r$).

2. $n\theta = \varphi + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Отсюда $\theta_k = \frac{\varphi + 2\pi k}{n}$.

Подставляя различные целые значения $k$, мы будем получать различные значения для аргумента $\theta_k$. Однако, различных значений корня будет ровно $n$. Это происходит потому, что при $k = n$ аргумент будет равен $\frac{\varphi + 2\pi n}{n} = \frac{\varphi}{n} + 2\pi$, что соответствует тому же комплексному числу, что и при $k=0$. Таким образом, для получения всех $n$ различных корней достаточно взять $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Итак, все $n$ корней $n$-й степени из комплексного числа $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ находятся по формуле: $w_k = \sqrt[n]{r} \left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$.

Геометрически все $n$ корней располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом $\sqrt[n]{r}$.

Ответ: Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$ называют такое комплексное число $w$, которое удовлетворяет уравнению $w^n = z$. Для любого ненулевого комплексного числа $z$ существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени.

2. Верно ли, что $\sqrt{3-4i} = 2-i$?

Чтобы проверить, является ли равенство $\sqrt{3-4i} = 2-i$ верным, можно возвести в квадрат правую часть равенства. Если результат будет равен подкоренному выражению $3-4i$, то равенство верно.

Возведем комплексное число $2-i$ в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2-i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot i + i^2$

Вспомним, что по определению мнимой единицы $i^2 = -1$. Подставим это значение в наше выражение:

$(2-i)^2 = 4 - 4i + (-1)$

Теперь выполним сложение действительных частей:

$(2-i)^2 = (4 - 1) - 4i$

$(2-i)^2 = 3 - 4i$

Результат возведения в квадрат правой части, $3-4i$, полностью совпадает с подкоренным выражением в левой части. Это означает, что $2-i$ действительно является одним из квадратных корней из $3-4i$.

Ответ: Да, равенство верно.

3. Сколько значений имеет $\sqrt[3]{8i}$? Верно ли, что одним из этих значений является $2i$?

Сколько значений имеет $\sqrt[3]{8i}$?

Нахождение корня n-ой степени из комплексного числа $z$ эквивалентно решению уравнения $w^n = z$. В нашем случае необходимо найти $\sqrt[3]{8i}$, что соответствует решению уравнения $w^3 = 8i$.

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учётом их кратности). Уравнение $w^3 - 8i = 0$ является полиномиальным уравнением третьей степени ($n=3$), следовательно, оно имеет ровно три комплексных корня.

Таким образом, выражение $\sqrt[3]{8i}$ имеет 3 различных значения в поле комплексных чисел. Это также следует из формулы Муавра для извлечения корней из комплексного числа, которая для каждого $k$ от $0$ до $n-1$ дает уникальное значение корня. При $n=3$ мы получаем три различных значения для $k=0, 1, 2$.

Ответ: Выражение имеет 3 значения.

Верно ли, что одним из этих значений является 2i?

Чтобы проверить, является ли $2i$ одним из значений $\sqrt[3]{8i}$, достаточно возвести $2i$ в третью степень и проверить, равно ли это значение $8i$.

Выполним вычисление:

$(2i)^3 = 2^3 \cdot i^3 = 8 \cdot i^3$

Мы знаем, что мнимая единица $i$ определяется как $i^2 = -1$. Тогда $i^3$ можно вычислить как $i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$.

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$8 \cdot i^3 = 8 \cdot (-i) = -8i$

Поскольку $(2i)^3 = -8i$, а не $8i$, то число $2i$ не является кубическим корнем из $8i$. Фактически, $2i$ является одним из кубических корней из $-8i$.

Для полной уверенности можно найти все три значения $\sqrt[3]{8i}$. Для этого представим число $8i$ в тригонометрической форме. Модуль числа $|8i| = 8$, а аргумент $\arg(8i) = \frac{\pi}{2}$.

$8i = 8\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)$

По формуле Муавра для корней, три значения $\sqrt[3]{8i}$ равны:

$w_0 = \sqrt[3]{8}\left(\cos\frac{\pi/2}{3} + i\sin\frac{\pi/2}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = \sqrt{3} + i$

$w_1 = 2\left(\cos\frac{\pi/2+2\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/2+2\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\right) = 2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = -\sqrt{3} + i$

$w_2 = 2\left(\cos\frac{\pi/2+4\pi}{3} + i\sin\frac{\pi/2+4\pi}{3}\right) = 2\left(\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2}\right) = 2(0 - i) = -2i$

Как видим, ни один из корней ($\sqrt{3} + i$, $-\sqrt{3} + i$, $-2i$) не равен $2i$.

Ответ: Нет, неверно.

4. Сформулируйте основную теорему алгебры.

Основная теорема алгебры (также известная как теорема Д'Аламбера — Гаусса) — это фундаментальное утверждение о корнях многочленов с комплексными коэффициентами. У неё есть несколько эквивалентных формулировок.

Основная формулировка

Любой многочлен (полином) от одной переменной степени не ниже первой с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Формально, для любого многочлена $P(z)$ вида:

$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$

где степень $n \ge 1$, коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_n$ являются комплексными числами ($a_i \in \mathbb{C}$), и старший коэффициент $a_n \ne 0$, существует комплексное число $z_0 \in \mathbb{C}$, такое что $P(z_0) = 0$.

Поскольку действительные числа являются подмножеством комплексных ($ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$), эта теорема справедлива и для многочленов с действительными коэффициентами.

Следствия и эквивалентные формулировки

Из основной теоремы вытекают важные следствия, которые часто используются как альтернативные формулировки.

1. Число корней и разложение на множители

Любой многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ корней в поле комплексных чисел, с учётом их кратности. Это означает, что многочлен $P(z)$ можно единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) представить в виде произведения линейных множителей:

$P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$

Здесь $z_1, z_2, \dots, z_n$ — это комплексные корни многочлена. Если какой-то корень встречается в разложении $k$ раз, говорят, что он имеет кратность $k$. Сумма кратностей всех корней равна степени многочлена $n$.

Пример: Многочлен $P(z) = z^3 - 5z^2 + 8z - 4$ имеет степень 3. Его можно разложить на множители как $P(z) = (z-1)(z-2)^2$. Корнями являются $z_1 = 1$ (кратность 1) и $z_2 = 2$ (кратность 2). Общее число корней с учётом кратности: $1 + 2 = 3$, что равно степени многочлена.

2. Корни многочленов с действительными коэффициентами

Если все коэффициенты $a_i$ многочлена $P(z)$ являются действительными числами, то его комплексные (не действительные) корни всегда образуют сопряжённые пары. Это значит, что если $z_0 = a + bi$ (где $b \ne 0$) является корнем, то и сопряжённое ему число $\bar{z_0} = a - bi$ также обязательно будет корнем этого многочлена.

Значение теоремы

Основная теорема алгебры говорит о том, что поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является алгебраически замкнутым. Это свойство означает, что любое полиномиальное уравнение, составленное с коэффициентами из этого поля, имеет все свои решения в этом же поле. Поле действительных чисел $\mathbb{R}$, в отличие от $\mathbb{C}$, не является алгебраически замкнутым (например, уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет решений в $\mathbb{R}$).

Ответ: Основная теорема алгебры гласит, что всякий многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Как следствие, такой многочлен имеет ровно $n$ комплексных корней, если учитывать их кратность.

Вычислите:

14.4. a) $\log_3 \frac{1}{27}$;

б) $\log_{0,1} 0,0001$;

в) $\lg 0,0001$;

г) $\log_{\frac{1}{3}} 81.$

а) По определению логарифма, $\log_a b = c$ эквивалентно $a^c = b$. Нам нужно найти такое число $x$, что $3^x = \frac{1}{27}$.

Представим $27$ как степень числа $3$: $27 = 3^3$.

Тогда дробь $\frac{1}{27}$ можно записать как $\frac{1}{3^3}$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем, что $\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид $3^x = 3^{-3}$. Отсюда следует, что $x = -3$.

Ответ: $-3$.

б) Нам нужно вычислить $\log_{0,1} 0,0001$. Для этого найдем такое число $x$, для которого выполняется равенство $0,1^x = 0,0001$.

Представим основание логарифма и его аргумент в виде степеней числа $10$.

Основание: $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Аргумент: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Подставим эти значения в равенство: $(10^{-1})^x = 10^{-4}$.

По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $10^{-x} = 10^{-4}$.

Приравнивая показатели степеней, имеем $-x = -4$, откуда $x = 4$.

Ответ: $4$.

в) Выражение $\lg 0,0001$ — это десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию $10$. Таким образом, $\lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001$.

Найдем такое число $x$, что $10^x = 0,0001$.

Представим $0,0001$ в виде степени числа $10$: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Уравнение принимает вид $10^x = 10^{-4}$.

Отсюда $x = -4$.

Ответ: $-4$.

г) Чтобы вычислить $\log_{\frac{1}{3}} 81$, найдем такое число $x$, что $(\frac{1}{3})^x = 81$.

Представим основание и аргумент логарифма как степени одного и того же числа, в данном случае числа $3$.

Основание: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Аргумент: $81 = 9^2 = (3^2)^2 = 3^4$.

Подставим полученные выражения в исходное равенство: $(3^{-1})^x = 3^4$.

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, левая часть равенства преобразуется в $3^{-x}$.

Получаем уравнение $3^{-x} = 3^4$.

Приравнивая показатели степеней, находим, что $-x = 4$, или $x = -4$.

Ответ: $-4$.

14.5. a) $\log_{\sqrt{7}} 49$;

б) $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8})$;

в) $\log_{\frac{1}{15}} 225 \sqrt[3]{15}$;

г) $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}$.

а) Для вычисления значения $\log_{\sqrt{7}} 49$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $\sqrt{7}$, чтобы получить число $49$.
Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, в данном случае числа 7.
Основание: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$.
Аргумент: $49 = 7^2$.
Подставим эти значения в исходное выражение:
$\log_{\sqrt{7}} 49 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2)$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{7^{\frac{1}{2}}} (7^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_7 7$.
Так как $\log_7 7 = 1$, получаем:
$\frac{2}{\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 = 4$.
Ответ: 4

б) Для вычисления значения $\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8})$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 2.
Основание: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$.
Упростим аргумент: $2\sqrt{8} = 2\sqrt{4 \cdot 2} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
Представим аргумент в виде степени числа 2: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{2+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.
Подставим полученные значения в логарифм:
$\log_{\sqrt{2}} (2\sqrt{8}) = \log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}})$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{2^{\frac{1}{2}}} (2^{\frac{5}{2}}) = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} \log_2 2$.
Так как $\log_2 2 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{1} = 5$.
Ответ: 5

в) Для вычисления значения $\log_{\frac{1}{15}} (225 \sqrt[3]{15})$ представим основание и аргумент логарифма в виде степеней числа 15.
Основание: $\frac{1}{15} = 15^{-1}$.
Представим аргумент $225 \sqrt[3]{15}$ в виде степени числа 15:
$225 = 15^2$.
$\sqrt[3]{15} = 15^{\frac{1}{3}}$.
$225 \sqrt[3]{15} = 15^2 \cdot 15^{\frac{1}{3}} = 15^{2+\frac{1}{3}} = 15^{\frac{7}{3}}$.
Подставим полученные значения в логарифм:
$\log_{\frac{1}{15}} (225 \sqrt[3]{15}) = \log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}})$.
Используем свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:
$\log_{15^{-1}} (15^{\frac{7}{3}}) = \frac{\frac{7}{3}}{-1} \log_{15} 15$.
Так как $\log_{15} 15 = 1$, получаем:
$\frac{\frac{7}{3}}{-1} = -\frac{7}{3}$.
Ответ: $-\frac{7}{3}$

г) Для вычисления значения $\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729}$ необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $\frac{3}{2}$, чтобы получить число $\frac{64}{729}$.
Представим аргумент $\frac{64}{729}$ в виде степени основания $\frac{3}{2}$.
Сначала представим числитель и знаменатель дроби в виде степеней:
$64 = 2^6$.
$729 = 9^3 = (3^2)^3 = 3^6$.
Таким образом, $\frac{64}{729} = \frac{2^6}{3^6} = (\frac{2}{3})^6$.
Теперь выразим $(\frac{2}{3})^6$ через основание $\frac{3}{2}$. Так как $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$, то:
$(\frac{2}{3})^6 = ((\frac{3}{2})^{-1})^6 = (\frac{3}{2})^{-6}$.
Подставим это в исходное выражение:
$\log_{\frac{3}{2}} \frac{64}{729} = \log_{\frac{3}{2}} ((\frac{3}{2})^{-6})$.
По определению логарифма $\log_a a^x = x$, получаем:
$\log_{\frac{3}{2}} ((\frac{3}{2})^{-6}) = -6$.
Ответ: -6

14.6. а) $\log_{\sqrt{2}} 1$;

б) $\log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}};$

В) $\log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3}$;

г) $\lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}}$.

а) Вычислим $ \log_{\sqrt{2}} 1 $.
По определению, логарифм $ \log_a b $ — это показатель степени $c$, в которую нужно возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. То есть, $ \log_a b = c $ равносильно $ a^c = b $.
В нашем случае мы ищем такое число $x$, что $ (\sqrt{2})^x = 1 $.
Известно, что любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Таким образом, $x=0$.
Это также следует из общего свойства логарифма: $ \log_a 1 = 0 $ для любого основания $ a > 0, a \neq 1 $.
Ответ: 0

б) Вычислим $ \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}} $.
Пусть $ \log_{0,5} \frac{1}{4\sqrt{2}} = x $. По определению логарифма, это означает, что $ (0,5)^x = \frac{1}{4\sqrt{2}} $.
Для решения этого уравнения представим основание $0,5$ и число под логарифмом $ \frac{1}{4\sqrt{2}} $ в виде степеней одного и того же числа, например, 2.
Основание: $ 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $.
Аргумент: $ 4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} $.
Следовательно, $ \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-5/2} $.
Теперь подставим полученные выражения в наше уравнение: $ (2^{-1})^x = 2^{-5/2} $.
Используя свойство степени $ (a^m)^n = a^{mn} $, получаем: $ 2^{-x} = 2^{-5/2} $.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $ -x = -\frac{5}{2} $.
Отсюда $ x = \frac{5}{2} $ или $2,5$.
Ответ: $ \frac{5}{2} $

в) Вычислим $ \log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} $.
Пусть $ \log_{\sqrt{3}} 81\sqrt{3} = x $. По определению логарифма, $ (\sqrt{3})^x = 81\sqrt{3} $.
Представим обе части уравнения в виде степеней числа 3.
Основание: $ \sqrt{3} = 3^{1/2} $.
Аргумент: $ 81\sqrt{3} = 3^4 \cdot 3^{1/2} = 3^{4 + 1/2} = 3^{9/2} $.
Подставим эти значения в уравнение: $ (3^{1/2})^x = 3^{9/2} $.
Упростим левую часть: $ 3^{x/2} = 3^{9/2} $.
Приравниваем показатели степеней: $ \frac{x}{2} = \frac{9}{2} $.
Умножив обе части на 2, получаем $ x = 9 $.
Ответ: 9

г) Вычислим $ \lg \frac{1}{\sqrt[3]{10}} $.
Запись $ \lg $ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $ \lg a = \log_{10} a $.
Таким образом, нам нужно найти $ \log_{10} \frac{1}{\sqrt[3]{10}} $.
Представим аргумент логарифма в виде степени числа 10.
Корень третьей степени из 10 это $ \sqrt[3]{10} = 10^{1/3} $.
Тогда $ \frac{1}{\sqrt[3]{10}} = \frac{1}{10^{1/3}} = 10^{-1/3} $.
Теперь наше выражение имеет вид: $ \log_{10} (10^{-1/3}) $.
По свойству логарифма $ \log_a (a^c) = c $, значение этого выражения равно показателю степени.
$ \log_{10} (10^{-1/3}) = -\frac{1}{3} $.
Ответ: $ -\frac{1}{3} $

14.7. a) $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49}$;

б) $\log_6 \frac{36}{\sqrt{6}};$

в) $\log_{0.2} \frac{25}{\sqrt{5}};$

г) $\log_{0.1} 10\sqrt{1000}.$

Для того чтобы найти значение выражения $ \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49} $, необходимо найти степень, в которую нужно возвести основание $ \frac{1}{7} $, чтобы получить аргумент $ \frac{1}{49} $.

Представим основание и аргумент логарифма в виде степеней одного и того же числа, например, 7.

Основание: $ \frac{1}{7} = 7^{-1} $.

Аргумент: $ \frac{1}{49} = \frac{1}{7^2} = 7^{-2} $.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{49} = \log_{7^{-1}} 7^{-2} $.

Воспользуемся свойством логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{7^{-1}} 7^{-2} = \frac{-2}{-1} \log_7 7 = 2 \cdot 1 = 2 $.

Ответ: 2

Для решения $ \log_6 \frac{36}{\sqrt{6}} $ сначала упростим аргумент логарифма, представив его в виде степени основания 6.

$ \frac{36}{\sqrt{6}} = \frac{6^2}{6^{\frac{1}{2}}} $.

По свойству степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем:

$ 6^{2 - \frac{1}{2}} = 6^{\frac{4}{2} - \frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}} $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \log_6 6^{\frac{3}{2}} $.

Используя основное свойство логарифма $ \log_a a^b = b $, получаем:

$ \log_6 6^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} = 1,5 $.

Ответ: 1,5

Чтобы вычислить $ \log_{0,2} \frac{25}{\sqrt{5}} $, представим основание и аргумент логарифма как степени числа 5.

Основание: $ 0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1} $.

Аргумент: $ \frac{25}{\sqrt{5}} = \frac{5^2}{5^{\frac{1}{2}}} $. По свойству степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получаем $ 5^{2 - \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} $.

Таким образом, исходное выражение принимает вид: $ \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{2}} $.

Применим свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-1} \log_5 5 = -\frac{3}{2} \cdot 1 = -1,5 $.

Ответ: -1,5

Для нахождения значения $ \log_{0,1} 10\sqrt{1000} $ преобразуем основание и аргумент логарифма к степеням числа 10.

Основание: $ 0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1} $.

Аргумент: $ 10\sqrt{1000} = 10 \cdot \sqrt{10^3} = 10^1 \cdot (10^3)^{\frac{1}{2}} = 10^1 \cdot 10^{\frac{3}{2}} $. По свойству степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $, получаем $ 10^{1 + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = 10^{\frac{5}{2}} $.

Теперь выражение выглядит так: $ \log_{10^{-1}} 10^{\frac{5}{2}} $.

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{10^{-1}} 10^{\frac{5}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{-1} \log_{10} 10 = -\frac{5}{2} \cdot 1 = -2,5 $.

Ответ: -2,5

14.8. a) $\log_3 \frac{3^7 \cdot 3^{-2.7}}{(3^{-0.3})^4};$

б) $\log_5 \frac{5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2 - \sqrt{3}}}{(5^{\sqrt{3}})^2 \cdot 5};$

В) $\log_2 \frac{2^{9.5} \cdot 2^{-0.7}}{(2^{-0.2})^4};$

Г) $\log_6 \frac{6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}}{(6^{\sqrt{2}}-3)^2}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $\log_3 \frac{3^7 \cdot 3^{-2,7}}{(3^{-0,3})^4}$, мы сначала упростим выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Упростим числитель дроби: $3^7 \cdot 3^{-2,7} = 3^{7 + (-2,7)} = 3^{4,3}$.
2. Упростим знаменатель дроби: $(3^{-0,3})^4 = 3^{-0,3 \cdot 4} = 3^{-1,2}$.
3. Теперь упростим всю дробь: $\frac{3^{4,3}}{3^{-1,2}} = 3^{4,3 - (-1,2)} = 3^{4,3 + 1,2} = 3^{5,5}$.
Исходное выражение примет вид: $\log_3(3^{5,5})$.
Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем конечный результат:
$\log_3(3^{5,5}) = 5,5$.
Ответ: 5,5

б) Для вычисления $\log_5 \frac{5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}}}{(5^{\sqrt{3}})^2 \cdot 5}$ также начнем с упрощения аргумента логарифма.
1. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = 5^2$.
2. Упростим знаменатель. Сначала возведем степень в степень: $(5^{\sqrt{3}})^2 = 5^{2\sqrt{3}}$. Затем умножим на 5 (т.е. на $5^1$): $5^{2\sqrt{3}} \cdot 5^1 = 5^{2\sqrt{3} + 1}$.
3. Упростим дробь, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя: $\frac{5^2}{5^{2\sqrt{3} + 1}} = 5^{2 - (2\sqrt{3} + 1)} = 5^{2 - 2\sqrt{3} - 1} = 5^{1 - 2\sqrt{3}}$.
Теперь выражение выглядит так: $\log_5(5^{1 - 2\sqrt{3}})$.
Применяя свойство $\log_a(a^x) = x$, находим ответ:
$\log_5(5^{1 - 2\sqrt{3}}) = 1 - 2\sqrt{3}$.
Ответ: $1 - 2\sqrt{3}$

в) Решим выражение $\log_2 \frac{2^{9,5} \cdot 2^{-0,7}}{(2^{-0,2})^4}$ по аналогии с предыдущими заданиями.
1. Упростим числитель: $2^{9,5} \cdot 2^{-0,7} = 2^{9,5 - 0,7} = 2^{8,8}$.
2. Упростим знаменатель: $(2^{-0,2})^4 = 2^{-0,2 \cdot 4} = 2^{-0,8}$.
3. Упростим дробь: $\frac{2^{8,8}}{2^{-0,8}} = 2^{8,8 - (-0,8)} = 2^{8,8 + 0,8} = 2^{9,6}$.
Подставим полученное выражение в логарифм: $\log_2(2^{9,6})$.
Используя свойство $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$\log_2(2^{9,6}) = 9,6$.
Ответ: 9,6

г) Для вычисления $\log_6 \frac{6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}}{(6^{\sqrt{2}-3})^2}$ снова упростим его аргумент.
1. Упростим числитель: $6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1} = 6^{(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1)} = 6^{2\sqrt{2}}$.
2. Упростим знаменатель, умножив показатель степени в скобках на показатель за скобками: $(6^{\sqrt{2}-3})^2 = 6^{(\sqrt{2}-3) \cdot 2} = 6^{2\sqrt{2}-6}$.
3. Упростим дробь: $\frac{6^{2\sqrt{2}}}{6^{2\sqrt{2}-6}} = 6^{2\sqrt{2} - (2\sqrt{2}-6)} = 6^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 6} = 6^6$.
Исходное выражение теперь имеет вид: $\log_6(6^6)$.
По основному свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$, находим значение:
$\log_6(6^6) = 6$.
Ответ: 6

14.9. a) $ \log_2 (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) $;

б) $ \log_5 (\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1) $;

в) $ \log_{0.2} (\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}) $;

г) $ \log_7 (\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) $.

а) $\log_2 ((\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1))$

Для упрощения выражения, находящегося под знаком логарифма, применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$ и $b = 1$.

Получаем: $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\log_2(2)$.

По определению логарифма, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_a(a) = 1$).

Следовательно, $\log_2(2) = 1$.

Ответ: 1

б) $\log_5 ((\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1))$

Выражение под знаком логарифма соответствует формуле сокращенного умножения "разность кубов": $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Здесь $a = \sqrt[3]{6}$ и $b = 1$. Проверим, соответствует ли вторая скобка формуле: $a^2 = (\sqrt[3]{6})^2 = \sqrt[3]{36}$, $ab = \sqrt[3]{6} \cdot 1 = \sqrt[3]{6}$, $b^2 = 1^2 = 1$. Все сходится.

Применяем формулу: $(\sqrt[3]{6} - 1)(\sqrt[3]{36} + \sqrt[3]{6} + 1) = (\sqrt[3]{6})^3 - 1^3 = 6 - 1 = 5$.

Подставляем результат в логарифм:

$\log_5(5) = 1$.

Ответ: 1

в) $\log_{0,2} ((\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}))$

Снова применяем формулу "разность квадратов" $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ для выражения в скобках.

Здесь $a = \sqrt{32}$ и $b = \sqrt{7}$.

$(\sqrt{32} + \sqrt{7})(\sqrt{32} - \sqrt{7}) = (\sqrt{32})^2 - (\sqrt{7})^2 = 32 - 7 = 25$.

Получаем выражение $\log_{0,2}(25)$.

Преобразуем основание логарифма: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Тогда $\log_{0,2}(25) = \log_{\frac{1}{5}}(25)$.

Пусть $\log_{\frac{1}{5}}(25) = x$. По определению логарифма, $(\frac{1}{5})^x = 25$.

Представим обе части уравнения как степени числа 5: $(5^{-1})^x = 5^2$.

$5^{-x} = 5^2$.

Отсюда $-x = 2$, значит $x = -2$.

Ответ: -2

г) $\log_7 ((\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}))$

Выражение под знаком логарифма соответствует формуле сокращенного умножения "сумма кубов": $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = \sqrt[3]{5}$ и $b = \sqrt[3]{2}$. Проверим вторую скобку: $a^2 = (\sqrt[3]{5})^2 = \sqrt[3]{25}$, $ab = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{10}$, $b^2 = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}$. Все сходится.

Применяем формулу: $(\sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{25} - \sqrt[3]{10} + \sqrt[3]{4}) = (\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[3]{2})^3 = 5 + 2 = 7$.

Подставляем результат в логарифм:

$\log_7(7) = 1$.

Ответ: 1

14.10. a) $log_{65} \frac{2^{18} + 1}{2^{12} - 2^6 + 1}$;

б) $log_{5} \frac{3^9 - 8}{3^6 + 2 \cdot 3^3 + 4}$.

а) Чтобы решить данное выражение, упростим дробь под знаком логарифма.
Исходное выражение: $\log_{65} \frac{2^{18} + 1}{2^{12} - 2^6 + 1}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $a = 2^6$.
Тогда $2^{12} = (2^6)^2 = a^2$ и $2^{18} = (2^6)^3 = a^3$.
Теперь выражение под логарифмом можно переписать в виде: $\frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Применив ее к числителю, получим: $a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.
Подставим это обратно в дробь: $\frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1}$.
Сократим дробь на $(a^2 - a + 1)$. Получим $a+1$.
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $a = 2^6$:
$a+1 = 2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$.
Таким образом, исходное выражение сводится к $\log_{65} 65$.
По основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_b b = 1$).
Следовательно, $\log_{65} 65 = 1$.
Ответ: 1

б) Упростим выражение, стоящее под знаком логарифма.
Исходное выражение: $\log_5 \frac{3^9 - 8}{3^6 + 2 \cdot 3^3 + 4}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $b = 3^3$.
Тогда $3^9 = (3^3)^3 = b^3$ и $3^6 = (3^3)^2 = b^2$.
Также заметим, что $8=2^3$ и $4=2^2$.
Подставим все в выражение под логарифмом: $\frac{b^3 - 2^3}{b^2 + 2b + 2^2}$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив ее к числителю, получим: $b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$.
Подставим это обратно в дробь: $\frac{(b-2)(b^2 + 2b + 4)}{b^2 + 2b + 4}$.
Сократим дробь на $(b^2 + 2b + 4)$. Получим $b-2$.
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $b = 3^3$:
$b-2 = 3^3 - 2 = 27 - 2 = 25$.
Таким образом, исходное выражение сводится к $\log_5 25$.
Чтобы найти значение логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25?
Так как $5^2 = 25$, то $\log_5 25 = 2$.
Ответ: 2

14.11. a) $\log_2 \log_5 \frac{10\sqrt{5}}{7\sqrt{5} - \sqrt{125}}$;

б) $\log_6 \log_2 \frac{2^{6.4} \cdot 2^{-0.2}}{(2^{0.1})^2}$.

a) $ \log_{2} \log_{5} \frac{10\sqrt{5}}{7\sqrt{5} - \sqrt{125}} $

Для решения данной задачи начнем с упрощения выражения, находящегося под знаком внутреннего логарифма по основанию 5.

1. Упростим знаменатель дроби $ 7\sqrt{5} - \sqrt{125} $. Для этого представим $ \sqrt{125} $ в виде $ \sqrt{25 \cdot 5} $. Используя свойство корня $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $, получаем $ \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} $.

2. Теперь знаменатель можно записать как $ 7\sqrt{5} - 5\sqrt{5} $. Вынесем общий множитель $ \sqrt{5} $ за скобки: $ (7-5)\sqrt{5} = 2\sqrt{5} $.

3. Подставим упрощенный знаменатель обратно в дробь: $ \frac{10\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} $.

4. Сократим дробь на $ 2\sqrt{5} $, получим $ \frac{10}{2} = 5 $.

5. Исходное выражение теперь имеет вид: $ \log_{2} \log_{5} 5 $.

6. Вычислим внутренний логарифм $ \log_{5} 5 $. По определению логарифма, это степень, в которую нужно возвести основание 5, чтобы получить 5. Эта степень равна 1. Таким образом, $ \log_{5} 5 = 1 $.

7. Подставим полученное значение в оставшееся выражение: $ \log_{2} 1 $.

8. Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю, так как любое число в степени 0 равно 1. Следовательно, $ \log_{2} 1 = 0 $.

Ответ: 0

б) $ \log_{6} \log_{2} \frac{2^{6,4} \cdot 2^{-0,2}}{(2^{0,1})^2} $

Начнем с упрощения дроби, стоящей под знаком внутреннего логарифма по основанию 2, используя свойства степеней.

1. Упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $): $ 2^{6,4} \cdot 2^{-0,2} = 2^{6,4 + (-0,2)} = 2^{6,2} $.

2. Упростим знаменатель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $): $ (2^{0,1})^2 = 2^{0,1 \cdot 2} = 2^{0,2} $.

3. Теперь дробь имеет вид: $ \frac{2^{6,2}}{2^{0,2}} $.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $): $ 2^{6,2 - 0,2} = 2^6 $.

5. Исходное выражение теперь выглядит так: $ \log_{6} \log_{2} 2^6 $.

6. Вычислим внутренний логарифм $ \log_{2} 2^6 $. Используя основное свойство логарифма $ \log_{a} a^b = b $, получаем, что $ \log_{2} 2^6 = 6 $.

7. Подставим полученное значение в оставшееся выражение: $ \log_{6} 6 $.

8. Логарифм числа, равного основанию, равен единице ($ \log_{a} a = 1 $). Следовательно, $ \log_{6} 6 = 1 $.

Ответ: 1

14.12. а) $3^{\log_3 8}$;

б) $4^{\log_4 23}$;

в) $12^{\log_{12} 1.3}$;

г) $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 7}$.

а)

Для решения данного примера воспользуемся основным логарифмическим тождеством, которое гласит: $a^{\log_a b} = b$, при условии, что $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.

В выражении $3^{\log_3 8}$ основание степени $a=3$ совпадает с основанием логарифма в показателе степени, которое также равно 3. Аргумент логарифма $b=8$.

Применяя тождество, получаем: $3^{\log_3 8} = 8$.

Ответ: 8

б)

Используем то же самое основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

В данном случае, в выражении $4^{\log_4 23}$ основание степени $a=4$, основание логарифма также равно 4, а аргумент логарифма $b=23$.

Следовательно, $4^{\log_4 23} = 23$.

Ответ: 23

в)

Снова применяем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

В выражении $12^{\log_{12} 1,3}$ основание степени $a=12$, основание логарифма в показателе также равно 12, а аргумент логарифма $b=1,3$.

Таким образом, $12^{\log_{12} 1,3} = 1,3$.

Ответ: 1,3

г)

И в этом примере мы используем основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b} = b$.

В выражении $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 7}$ основание степени $a=\frac{1}{4}$ и основание логарифма в показателе степени совпадают. Аргумент логарифма $b=7$.

Применяя тождество, получаем: $(\frac{1}{4})^{\log_{\frac{1}{4}} 7} = 7$.

Ответ: 7