Номер 14.8, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.8, страница 86.

14.8. a) $\log_3 \frac{3^7 \cdot 3^{-2.7}}{(3^{-0.3})^4};$

б) $\log_5 \frac{5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2 - \sqrt{3}}}{(5^{\sqrt{3}})^2 \cdot 5};$

В) $\log_2 \frac{2^{9.5} \cdot 2^{-0.7}}{(2^{-0.2})^4};$

Г) $\log_6 \frac{6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}}{(6^{\sqrt{2}}-3)^2}.$

а) Чтобы вычислить значение выражения $\log_3 \frac{3^7 \cdot 3^{-2,7}}{(3^{-0,3})^4}$, мы сначала упростим выражение, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
1. Упростим числитель дроби: $3^7 \cdot 3^{-2,7} = 3^{7 + (-2,7)} = 3^{4,3}$.
2. Упростим знаменатель дроби: $(3^{-0,3})^4 = 3^{-0,3 \cdot 4} = 3^{-1,2}$.
3. Теперь упростим всю дробь: $\frac{3^{4,3}}{3^{-1,2}} = 3^{4,3 - (-1,2)} = 3^{4,3 + 1,2} = 3^{5,5}$.
Исходное выражение примет вид: $\log_3(3^{5,5})$.
Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^x) = x$, получаем конечный результат:
$\log_3(3^{5,5}) = 5,5$.
Ответ: 5,5

б) Для вычисления $\log_5 \frac{5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}}}{(5^{\sqrt{3}})^2 \cdot 5}$ также начнем с упрощения аргумента логарифма.
1. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $5^{\sqrt{3}} \cdot 5^{2-\sqrt{3}} = 5^{\sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = 5^2$.
2. Упростим знаменатель. Сначала возведем степень в степень: $(5^{\sqrt{3}})^2 = 5^{2\sqrt{3}}$. Затем умножим на 5 (т.е. на $5^1$): $5^{2\sqrt{3}} \cdot 5^1 = 5^{2\sqrt{3} + 1}$.
3. Упростим дробь, вычитая из показателя числителя показатель знаменателя: $\frac{5^2}{5^{2\sqrt{3} + 1}} = 5^{2 - (2\sqrt{3} + 1)} = 5^{2 - 2\sqrt{3} - 1} = 5^{1 - 2\sqrt{3}}$.
Теперь выражение выглядит так: $\log_5(5^{1 - 2\sqrt{3}})$.
Применяя свойство $\log_a(a^x) = x$, находим ответ:
$\log_5(5^{1 - 2\sqrt{3}}) = 1 - 2\sqrt{3}$.
Ответ: $1 - 2\sqrt{3}$

в) Решим выражение $\log_2 \frac{2^{9,5} \cdot 2^{-0,7}}{(2^{-0,2})^4}$ по аналогии с предыдущими заданиями.
1. Упростим числитель: $2^{9,5} \cdot 2^{-0,7} = 2^{9,5 - 0,7} = 2^{8,8}$.
2. Упростим знаменатель: $(2^{-0,2})^4 = 2^{-0,2 \cdot 4} = 2^{-0,8}$.
3. Упростим дробь: $\frac{2^{8,8}}{2^{-0,8}} = 2^{8,8 - (-0,8)} = 2^{8,8 + 0,8} = 2^{9,6}$.
Подставим полученное выражение в логарифм: $\log_2(2^{9,6})$.
Используя свойство $\log_a(a^x) = x$, получаем:
$\log_2(2^{9,6}) = 9,6$.
Ответ: 9,6

г) Для вычисления $\log_6 \frac{6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1}}{(6^{\sqrt{2}-3})^2}$ снова упростим его аргумент.
1. Упростим числитель: $6^{\sqrt{2}-1} \cdot 6^{\sqrt{2}+1} = 6^{(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1)} = 6^{2\sqrt{2}}$.
2. Упростим знаменатель, умножив показатель степени в скобках на показатель за скобками: $(6^{\sqrt{2}-3})^2 = 6^{(\sqrt{2}-3) \cdot 2} = 6^{2\sqrt{2}-6}$.
3. Упростим дробь: $\frac{6^{2\sqrt{2}}}{6^{2\sqrt{2}-6}} = 6^{2\sqrt{2} - (2\sqrt{2}-6)} = 6^{2\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 6} = 6^6$.
Исходное выражение теперь имеет вид: $\log_6(6^6)$.
По основному свойству логарифма $\log_a(a^x) = x$, находим значение:
$\log_6(6^6) = 6$.
Ответ: 6