Номер 14.10, страница 86, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.10, страница 86.

14.10. a) $log_{65} \frac{2^{18} + 1}{2^{12} - 2^6 + 1}$;

б) $log_{5} \frac{3^9 - 8}{3^6 + 2 \cdot 3^3 + 4}$.

а) Чтобы решить данное выражение, упростим дробь под знаком логарифма.
Исходное выражение: $\log_{65} \frac{2^{18} + 1}{2^{12} - 2^6 + 1}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $a = 2^6$.
Тогда $2^{12} = (2^6)^2 = a^2$ и $2^{18} = (2^6)^3 = a^3$.
Теперь выражение под логарифмом можно переписать в виде: $\frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}$.
Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.
Применив ее к числителю, получим: $a^3 + 1^3 = (a+1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) = (a+1)(a^2 - a + 1)$.
Подставим это обратно в дробь: $\frac{(a+1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1}$.
Сократим дробь на $(a^2 - a + 1)$. Получим $a+1$.
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $a = 2^6$:
$a+1 = 2^6 + 1 = 64 + 1 = 65$.
Таким образом, исходное выражение сводится к $\log_{65} 65$.
По основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице ($\log_b b = 1$).
Следовательно, $\log_{65} 65 = 1$.
Ответ: 1

б) Упростим выражение, стоящее под знаком логарифма.
Исходное выражение: $\log_5 \frac{3^9 - 8}{3^6 + 2 \cdot 3^3 + 4}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $b = 3^3$.
Тогда $3^9 = (3^3)^3 = b^3$ и $3^6 = (3^3)^2 = b^2$.
Также заметим, что $8=2^3$ и $4=2^2$.
Подставим все в выражение под логарифмом: $\frac{b^3 - 2^3}{b^2 + 2b + 2^2}$.
Воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$.
Применив ее к числителю, получим: $b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2 + b \cdot 2 + 2^2) = (b-2)(b^2 + 2b + 4)$.
Подставим это обратно в дробь: $\frac{(b-2)(b^2 + 2b + 4)}{b^2 + 2b + 4}$.
Сократим дробь на $(b^2 + 2b + 4)$. Получим $b-2$.
Теперь вернемся к исходной переменной, подставив $b = 3^3$:
$b-2 = 3^3 - 2 = 27 - 2 = 25$.
Таким образом, исходное выражение сводится к $\log_5 25$.
Чтобы найти значение логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25?
Так как $5^2 = 25$, то $\log_5 25 = 2$.
Ответ: 2