Номер 14.1, страница 85, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.1, страница 85.

Докажите, что верно равенство:

14.1. a) $ \log_2 8 = 3; $

б) $ \log_3 \frac{1}{9} = -2; $

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4; $

г) $ \log_{\frac{1}{5}} 625 = -4. $

Для доказательства данных равенств воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ тогда и только тогда, когда $b^c = a$, где $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$.

а) Чтобы доказать, что $\log_2 8 = 3$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $2^3 = 8$ согласно определению логарифма. Выполним возведение в степень: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Поскольку $8=8$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_2 8 = 3$ верно, так как $2^3 = 8$.

б) Чтобы доказать, что $\log_3 \frac{1}{9} = -2$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $3^{-2} = \frac{1}{9}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Поскольку $\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ верно, так как $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

в) Чтобы доказать, что $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Выполним возведение в степень: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$. Поскольку $\frac{1}{16} = \frac{1}{16}$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$ верно, так как $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

г) Чтобы доказать, что $\log_{\frac{1}{5}} 625 = -4$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(\frac{1}{5})^{-4} = 625$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$), получаем: $(\frac{1}{5})^{-4} = (\frac{5}{1})^4 = 5^4$. Вычислим $5^4$: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Поскольку $625 = 625$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_{\frac{1}{5}} 625 = -4$ верно, так как $(\frac{1}{5})^{-4} = 625$.