Номер 15.12, страница 90, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 15. Логарифмическая функция, её свойства и график. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 15.12, страница 90.

Сравните числа:

15.12. a) $log_4 7$ и $log_4 23$;

б) $log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $log_{\frac{2}{3}} 1$;

в) $log_9 \sqrt{15}$ и $log_9 13$;

г) $log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

а)

Для сравнения чисел $\log_4 7$ и $\log_4 23$ воспользуемся свойством логарифмической функции $y = \log_a x$.
В данном случае основание логарифма $a = 4$. Так как основание больше единицы ($a > 1$), логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $23$.
Очевидно, что $7 < 23$.
Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_4 7 < \log_4 23$.

Ответ: $\log_4 7 < \log_4 23$.

б)

Для сравнения чисел $\log_{\frac{2}{3}} 0.8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{2}{3}} x$.
Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма.
Сравним аргументы логарифмов: $0.8$ и $1$.
Очевидно, что $0.8 < 1$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{2}{3}} 0.8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 0.8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

в)

Для сравнения чисел $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_9 x$.
Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{15}$ и $13$.
Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат: $(\sqrt{15})^2 = 15$.
$13^2 = 169$.
Так как $15 < 169$, то и $\sqrt{15} < 13$.
Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

Ответ: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

г)

Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{12}} x$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{12}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Сравним аргументы логарифмов: $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $21$:
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$.
Так как $3 < 14$, то $\frac{3}{21} < \frac{14}{21}$, следовательно, $\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.