Номер 14.22, страница 87, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 14. Понятие логарифма. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 14.22, страница 87.

14.22. а) $2^x = 9$;

б) $12^x = 7$;

в) $(\frac{1}{3})^x = 4$;

г) $0,2^x = 6$.

а) Дано показательное уравнение $2^x = 9$.

Для решения этого уравнения используется определение логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Таким образом, равенство $a^x = b$ эквивалентно равенству $x = \log_a b$.

В данном случае, основание $a=2$ и число $b=9$. Применяя определение логарифма, получаем:

$x = \log_2 9$.

Также можно упростить это выражение, используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$. Так как $9 = 3^2$, то:

$x = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$.

Оба ответа, $\log_2 9$ и $2\log_2 3$, являются верными.

Ответ: $x = \log_2 9$.

б) Дано показательное уравнение $12^x = 7$.

По аналогии с предыдущим примером, воспользуемся определением логарифма. Если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

В этом уравнении основание $a=12$ и число $b=7$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \log_{12} 7$.

Ответ: $x = \log_{12} 7$.

в) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 4$.

По определению логарифма, $x = \log_{\frac{1}{3}} 4$.

Данное выражение можно упростить. Для этого представим основание логарифма $\frac{1}{3}$ в виде степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Теперь воспользуемся свойством логарифма для смены основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

$x = \log_{3^{-1}} 4 = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4$.

Ответ: $x = -\log_3 4$.

г) Дано показательное уравнение $0,2^x = 6$.

В первую очередь, преобразуем десятичную дробь в основании в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь уравнение имеет вид $(\frac{1}{5})^x = 6$.

Применяя определение логарифма, получаем $x = \log_{\frac{1}{5}} 6$.

Упростим полученный результат. Основание $\frac{1}{5}$ можно записать как $5^{-1}$.

Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, находим:

$x = \log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1}\log_5 6 = -\log_5 6$.

Ответ: $x = -\log_5 6$.