Номер 13.39, страница 84, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.39, страница 84.

13.39. a) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + 2$;

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$.

а)

Дано неравенство: $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + 2$.
Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \ge 3x^2 - 2x + 2 - (2x + 2 - x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$0 \ge 3x^2 - 2x + 2 - 2x - 2 + x^2$

$0 \ge (3x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (2 - 2)$

$0 \ge 4x^2 - 4x$

Запишем неравенство в более привычном виде:

$4x^2 - 4x \le 0$

Разделим обе части на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется):

$x^2 - x \le 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x = 0$.
Вынесем $x$ за скобку:

$x(x - 1) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б)

Дано неравенство: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 4x - 2 - x^2$.

Это неравенство нестандартного вида. Проанализируем его левую и правую части по отдельности.

1. Левая часть: $f(x) = 2^{x^2 - 4x + 5}$
Преобразуем показатель степени, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Тогда минимальное значение показателя степени $(x-2)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Это значение достигается при $x=2$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение левой части неравенства равно $2^1 = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2$.

2. Правая часть: $g(x) = 4x - 2 - x^2$
Преобразуем это выражение, также выделив полный квадрат:

$-x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x + 2) = -((x^2 - 4x + 4) - 2) = -(x-2)^2 + 2 = 2 - (x-2)^2$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз.
Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то выражение $-(x-2)^2 \le 0$.
Следовательно, наибольшее значение правой части равно $2 - 0 = 2$. Это значение достигается при $x=2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется: $4x - 2 - x^2 \le 2$.

3. Сравнение
Мы получили, что для любого $x$:
Левая часть: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2$
Правая часть: $4x - 2 - x^2 \le 2$

Отсюда следует, что левая часть всегда больше или равна правой части: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2 \ge 4x - 2 - x^2$.
Это неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.