Номер 13.23, страница 82, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 13. Показательные неравенства. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 13.23, страница 82.

Решите неравенство:

13.23. а) $3^x < 5^x$;

б) $6^x \ge 2^x$;

в) $\left(\frac{12}{13}\right)^x \le 12^x$;

г) $0,6^x > 3^x$.

а) $3^x < 5^x$

Данное неравенство является показательным. Для его решения приведем его к виду $a^x < 1$ или $a^x > 1$. Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения ($5^x > 0$ для любого $x$), знак неравенства при делении не изменится:
$\frac{3^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$
Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$(\frac{3}{5})^x < 1$
Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:
$(\frac{3}{5})^x < (\frac{3}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, соответствующая показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

б) $6^x \ge 2^x$

Разделим обе части неравенства на $2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{6^x}{2^x} \ge \frac{2^x}{2^x}$
$(\frac{6}{2})^x \ge 1$
$3^x \ge 1$
Представим 1 как $3^0$:
$3^x \ge 3^0$
Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

в) $(\frac{12}{13})^x \le 12^x$

Разделим обе части неравенства на $12^x$. Так как $12^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{(\frac{12}{13})^x}{12^x} \le \frac{12^x}{12^x}$
$(\frac{12/13}{12})^x \le 1$
$(\frac{12}{13 \cdot 12})^x \le 1$
$(\frac{1}{13})^x \le 1$
Представим 1 как $(\frac{1}{13})^0$:
$(\frac{1}{13})^x \le (\frac{1}{13})^0$
Так как основание степени $a = \frac{1}{13}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

г) $0,6^x > 3^x$

Разделим обе части неравенства на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{0,6^x}{3^x} > \frac{3^x}{3^x}$
$(\frac{0,6}{3})^x > 1$
Представим 0,6 в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$(\frac{3/5}{3})^x > 1$
$(\frac{3}{5 \cdot 3})^x > 1$
$(\frac{1}{5})^x > 1$
Представим 1 как $(\frac{1}{5})^0$:
$(\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.