Номер 12.27, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.27, страница 76.

12.27. a) $2^{2x^2+2x-6} - 2^{7-2x-x^2} = 3,5;$

б) $3^{2x^2+x} = 26 + 3^{3-x-2x^2}.$

а) $2^{x^2 + 2x - 6} - 2^{7 - 2x - x^2} = 3,5$

Заметим, что показатели степеней связаны между собой. Преобразуем показатель второго члена: $7 - 2x - x^2 = 7 - (x^2 + 2x)$.

Введем замену. Пусть $y = x^2 + 2x$. Тогда исходное уравнение примет вид:

$2^{y - 6} - 2^{7 - y} = 3,5$

Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, перепишем уравнение:

$\frac{2^y}{2^6} - \frac{2^7}{2^y} = 3,5$

$\frac{2^y}{64} - \frac{128}{2^y} = \frac{7}{2}$

Сделаем еще одну замену. Пусть $t = 2^y$. Так как основание степени $2 > 0$, то $t$ должно быть положительным, $t > 0$.

$\frac{t}{64} - \frac{128}{t} = \frac{7}{2}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $64t$, чтобы избавиться от дробей:

$t \cdot t - 128 \cdot 64 = \frac{7}{2} \cdot 64t$

$t^2 - 8192 = 224t$

$t^2 - 224t - 8192 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-224)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8192) = 50176 + 32768 = 82944$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{82944} = 288$.

Теперь найдем корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{-(-224) + 288}{2 \cdot 1} = \frac{224 + 288}{2} = \frac{512}{2} = 256$

$t_2 = \frac{-(-224) - 288}{2 \cdot 1} = \frac{224 - 288}{2} = \frac{-64}{2} = -32$

Согласно условию $t > 0$, корень $t_2 = -32$ является посторонним. Таким образом, единственное решение для $t$ это $t_1 = 256$.

Вернемся к замене $t = 2^y$:

$2^y = 256$

Так как $256 = 2^8$, получаем:

$2^y = 2^8 \implies y = 8$

Теперь вернемся к первой замене $y = x^2 + 2x$:

$x^2 + 2x = 8$

$x^2 + 2x - 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.

$x_1 = 2$, $x_2 = -4$.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -4$.

б) $3^{2x^2 + x} = 26 + 3^{3 - x - 2x^2}$

Преобразуем показатель степени у второго слагаемого в правой части: $3 - x - 2x^2 = 3 - (2x^2 + x)$.

Введем замену. Пусть $y = 2x^2 + x$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$3^y = 26 + 3^{3-y}$

Используя свойства степеней, получаем:

$3^y = 26 + \frac{3^3}{3^y}$

$3^y = 26 + \frac{27}{3^y}$

Введем новую переменную. Пусть $t = 3^y$. Так как $3 > 0$, то $t > 0$.

$t = 26 + \frac{27}{t}$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):

$t^2 = 26t + 27$

$t^2 - 26t - 27 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = 26$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = -27$.

Корнями уравнения являются $t_1 = 27$ и $t_2 = -1$.

Поскольку по замене $t > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Следовательно, $t = 27$.

Выполним обратную замену $t = 3^y$:

$3^y = 27$

$3^y = 3^3$

$y = 3$

Теперь выполним вторую обратную замену $y = 2x^2 + x$:

$2x^2 + x = 3$

$2x^2 + x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

Найдем корни для $x$:

$x_1 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1,5$.