Номер 12.11, страница 74, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 12. Показательные уравнения. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 12.11, страница 74.

12.11. a) $3^{x+1} \cdot 5^x = 675;$

Б) $4^{x+2} \cdot 3^{x+1} = 576;$

В) $5 \cdot 2^{3x} \cdot 3^x = 2880;$

Г) $2^{2x+1} \cdot 5^x = 16000.$

a) $3^{x+1} \cdot 5^x = 675$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1$.
Уравнение принимает вид: $3 \cdot 3^x \cdot 5^x = 675$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $3 \cdot (3 \cdot 5)^x = 675$.
$3 \cdot 15^x = 675$.
Разделим обе части уравнения на 3: $15^x = \frac{675}{3}$.
$15^x = 225$.
Представим 225 как степень 15: $225 = 15^2$.
$15^x = 15^2$.
Следовательно, $x=2$.
Ответ: $2$.

б) $4^{x+2} \cdot 3^{x+1} = 576$
Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$ и $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$.
Уравнение принимает вид: $16 \cdot 4^x \cdot 3 \cdot 3^x = 576$.
Сгруппируем множители: $(16 \cdot 3) \cdot (4^x \cdot 3^x) = 576$.
$48 \cdot (4 \cdot 3)^x = 576$.
$48 \cdot 12^x = 576$.
Разделим обе части на 48: $12^x = \frac{576}{48}$.
$12^x = 12$.
Поскольку $12 = 12^1$, то $12^x = 12^1$.
Следовательно, $x=1$.
Ответ: $1$.

в) $5 \cdot 2^{3x} \cdot 3^x = 2880$
Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3x} = (2^3)^x = 8^x$.
Уравнение принимает вид: $5 \cdot 8^x \cdot 3^x = 2880$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $5 \cdot (8 \cdot 3)^x = 2880$.
$5 \cdot 24^x = 2880$.
Разделим обе части на 5: $24^x = \frac{2880}{5}$.
$24^x = 576$.
Представим 576 как степень 24: $576 = 24^2$.
$24^x = 24^2$.
Следовательно, $x=2$.
Ответ: $2$.

г) $2^{2x+1} \cdot 5^x = 16000$
Преобразуем $2^{2x+1}$ используя свойства степеней: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = (2^2)^x \cdot 2 = 4^x \cdot 2$.
Уравнение принимает вид: $2 \cdot 4^x \cdot 5^x = 16000$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $2 \cdot (4 \cdot 5)^x = 16000$.
$2 \cdot 20^x = 16000$.
Разделим обе части на 2: $20^x = \frac{16000}{2}$.
$20^x = 8000$.
Представим 8000 как степень 20: $8000 = 20^3$.
$20^x = 20^3$.
Следовательно, $x=3$.
Ответ: $3$.