Номер 2, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Извлекаем корень $n$-й степени из единицы в комплексной плоскости.

Задача об извлечении корня $n$-й степени из единицы заключается в нахождении всех комплексных чисел $z$, которые удовлетворяют уравнению $z^n = 1$, где $n$ — заданное натуральное число. Эти числа называются корнями $n$-й степени из единицы.

Для решения этого уравнения наиболее удобным является использование тригонометрической или показательной формы комплексного числа. Представим искомое число $z$ и число 1 в тригонометрической форме.Для $z$ имеем: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.Для числа 1 модуль равен 1, а аргумент равен 0. Однако, учитывая периодичность тригонометрических функций, аргумент можно записать в общем виде как $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, $1 = 1 \cdot (\cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k))$.

Подставим эти представления в исходное уравнение $z^n = 1$:$[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = 1 \cdot (\cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k))$.При возведении комплексного числа в степень $n$ используется формула Муавра: $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.Следовательно, уравнение принимает вид:$r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) = \cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на число, кратное $2\pi$.Приравнивая модули, получаем:$r^n = 1$.Поскольку $r$ — это модуль, то есть неотрицательное действительное число, единственным решением является $r = 1$. Это означает, что все корни $n$-й степени из единицы по модулю равны единице, то есть лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.

Приравнивая аргументы, получаем:$n\varphi = 2\pi k$.Отсюда можно выразить аргумент $\varphi$:$\varphi_k = \frac{2\pi k}{n}$.

Таким образом, мы получили общую формулу для всех корней $n$-й степени из единицы:$z_k = 1 \cdot \left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)$.Чтобы найти все различные корни, достаточно перебрать последовательные целые значения $k$, например, от $0$ до $n-1$.При $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ мы получаем $n$ различных значений для $z_k$. Например:При $k=0$, $z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.При $k=1$, $z_1 = \cos(2\pi/n) + i\sin(2\pi/n)$....При $k=n$, мы получим $z_n = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 = z_0$. При $k=n+1$ получим $z_1$, и так далее. Следовательно, существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени из единицы.

Геометрически, $n$ корней $n$-й степени из единицы располагаются в комплексной плоскости в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат. Одна из вершин этого многоугольника ($z_0$) всегда совпадает с точкой $(1, 0)$ на действительной оси. Остальные вершины равномерно распределены по окружности с шагом по углу, равным $\frac{2\pi}{n}$.

Ответ: Существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени из комплексной единицы. Они вычисляются по формуле Муавра:$z_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$,или в показательной форме:$z_k = e^{i\frac{2\pi k}{n}}$,где $k$ принимает значения $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$. В комплексной плоскости эти корни образуют вершины правильного $n$-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.