Номер 2, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что такое показательная функция?

Определение

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где $a$ — заданное число, называемое основанием, а $x$ — переменная, называемая показателем степени. На основание $a$ накладываются следующие ограничения: $a > 0$ и $a \neq 1$.

Эти ограничения необходимы, так как:
- при $a = 1$ функция превращается в константу $y = 1^x = 1$, которая не обладает свойствами, характерными для показательных функций;
- при $a \le 0$ функция не определена для многих действительных значений $x$ (например, при $a=-2$ и $x=1/2$ выражение $(-2)^{1/2}$ не является действительным числом, а при $a=0$ и $x=-1$ выражение $0^{-1}$ не определено).

Основные свойства показательной функции $y = a^x$

1. Область определения: множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это означает, что $x$ может быть любым числом.

2. Область значений: множество всех положительных действительных чисел, $E(f) = (0; +\infty)$. Это означает, что $a^x > 0$ для любого действительного $x$. График функции полностью лежит выше оси абсцисс.

3. Монотонность (поведение функции):
- если основание $a > 1$, то функция является строго возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$.
- если основание $0 < a < 1$, то функция является строго убывающей. Это значит, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$. Для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$.

4. Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

5. Характерная точка: график любой показательной функции всегда проходит через точку с координатами $(0; 1)$, так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.

6. Асимптота: ось абсцисс (ось $Ox$) является горизонтальной асимптотой для графика функции. Это означает, что график неограниченно приближается к оси $Ox$, но никогда её не пересекает.

График показательной функции

Внешний вид графика напрямую зависит от значения основания $a$.

Случай 1: $a > 1$ (возрастающая функция)
График расположен в I и II координатных четвертях. Он проходит через точку $(0; 1)$ и плавно поднимается слева направо, причем рост ускоряется. При $x \to -\infty$, значение $y \to 0$ (график приближается к оси $Ox$). При $x \to +\infty$, значение $y \to +\infty$. Пример: $y = 2^x, y=e^x$.

Случай 2: $0 < a < 1$ (убывающая функция)
График также расположен в I и II координатных четвертях и проходит через точку $(0; 1)$. Он плавно опускается слева направо. При $x \to -\infty$, значение $y \to +\infty$. При $x \to +\infty$, значение $y \to 0$ (график приближается к оси $Ox$). Пример: $y = (1/2)^x, y=(0.3)^x$.

Важно отметить, что графики функций $y = a^x$ и $y = (1/a)^x$ симметричны друг другу относительно оси ординат (оси $Oy$).

Примеры

- $y = 2^x$ — классический пример возрастающей показательной функции.
- $y = (0.5)^x$ (или $y = (1/2)^x$) — пример убывающей показательной функции.
- $y = e^x$, где $e \approx 2.71828...$ (число Эйлера) — натуральная показательная функция, или экспонента. Так как $e > 1$, эта функция является возрастающей и имеет фундаментальное значение в математическом анализе.

Ответ: Показательная функция — это функция вида $y=a^x$, где основание $a$ является положительным числом, не равным единице ($a > 0, a \neq 1$), а $x$ — переменная (показатель степени), которая может принимать любые действительные значения.