gdz.top
Номер 4, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов
Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Часть: 1
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Часть 1. Глава 3. Показательная и логарифмическая функции. Параграф 11. Показательная функция, её свойства и график - номер 4, страница 102.
№3
№4 (с. 102)
Условие. №4 (с. 102)
4. Чему равен $\lim_{x \to +\infty} a^x$, если $0 < a < 1$?
Решение 1. №4 (с. 102)
Решение 4. №4 (с. 102)
4.
Для нахождения предела $\lim_{x \to +\infty} a^x$ при условии $0 < a < 1$, рассмотрим поведение показательной функции $y = a^x$ с основанием, меньшим единицы.
Когда основание степени $a$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция $y = a^x$ является монотонно убывающей. Это означает, что при увеличении значения $x$, значение $a^x$ будет уменьшаться.
Проиллюстрируем это на примере. Возьмем $a = \frac{1}{2}$:
Если $x = 1$, то $(\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.
Если $x = 2$, то $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
Если $x = 3$, то $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.
Мы видим, что с ростом $x$ значение выражения $(\frac{1}{2})^x$ становится все меньше и приближается к нулю.
Чтобы доказать это формально, мы можем сделать замену. Поскольку $0 < a < 1$, мы можем представить $a$ как $a = \frac{1}{b}$, где $b$ будет больше 1 ($b > 1$).
Тогда исходный предел можно переписать:
$\lim_{x \to +\infty} a^x = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{b})^x = \lim_{x \to +\infty} \frac{1^x}{b^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x}$
Так как $b > 1$, при стремлении $x$ к плюс бесконечности ($x \to +\infty$), знаменатель $b^x$ также стремится к плюс бесконечности ($b^x \to +\infty$).
Предел дроби, у которой числитель — константа (1), а знаменатель неограниченно возрастает, равен нулю.
$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{b^x} = \frac{1}{+\infty} = 0$
Ответ: $0$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 4 расположенного на странице 102 для 1-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4 (с. 102), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), 1-й части базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.