Номер 3, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Обратные функции (на примере степенных функций).

Определение обратной функции

Пусть дана функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f)$ и областью значений $E(f)$. Функция называется обратимой, если для каждого значения $y_0 \in E(f)$ существует только одно значение $x_0 \in D(f)$ такое, что $f(x_0) = y_0$. Иными словами, функция должна быть взаимно однозначной (или инъективной) на своей области определения.

Если функция $f(x)$ обратима, то можно определить обратную функцию, которая обозначается как $f^{-1}(x)$. Эта функция сопоставляет каждому $y$ из области значений $E(f)$ то единственное значение $x$ из области определения $D(f)$, для которого $f(x) = y$.

Ключевым условием обратимости функции является ее строгая монотонность. Если функция строго возрастает или строго убывает на всей своей области определения, то она обратима.

Свойства обратных функций

• Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Композиция функции и ее обратной функции дает тождественную функцию: $f(f^{-1}(x)) = x$ для всех $x \in D(f^{-1})$ и $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$.
• Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Алгоритм нахождения обратной функции

1. Убедиться, что функция $y = f(x)$ является обратимой на своей области определения (т.е. является строго монотонной). Если нет, то необходимо сузить ее область определения до промежутка, на котором она строго монотонна.
2. В уравнении $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Мы получим уравнение вида $x = g(y)$.
3. В полученном уравнении поменять местами переменные $x$ и $y$. Получится функция $y = g(x)$, которая и является обратной к исходной: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Пример 1: Степенная функция с нечетным натуральным показателем

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$.

1. Проверка на обратимость. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения, следовательно, она обратима.

2. Выражение $x$ через $y$. Из уравнения $y = x^3$ выражаем $x$. Для этого извлекаем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{y}$.

3. Замена переменных. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, обратная функция для $f(x) = x^3$ это $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$. Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратной функцией для степенной функции $f(x) = x^n$ с нечетным натуральным показателем $n$ является функция $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$, определенная на всей числовой оси. Для $f(x) = x^3$ обратной является $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$.

Пример 2: Степенная функция с четным натуральным показателем

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$.

1. Проверка на обратимость. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция не является монотонной на всей области определения: она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Это значит, что она не является обратимой на $D(f)$. Например, $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо сузить область определения до промежутка строгой монотонности. Чаще всего выбирают промежуток, где $x \ge 0$.

Рассмотрим новую функцию $f_1(x) = x^2$, но с областью определения $D(f_1) = [0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f_1(x)$ строго возрастает. Ее область значений $E(f_1) = [0; +\infty)$. Теперь она обратима.

2. Выражение $x$ через $y$. Из уравнения $y = x^2$, зная, что $x \ge 0$, выражаем $x$. Извлекая квадратный корень, получаем $x = \sqrt{y}$ (мы выбираем арифметический корень, так как $x$ неотрицателен).

3. Замена переменных. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt{x}$.

Таким образом, для функции $f_1(x) = x^2$ на области определения $x \in [0; +\infty)$ обратной является функция $f_1^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Степенная функция $f(x) = x^n$ с четным натуральным показателем $n$ не является обратимой на всей числовой оси. Для нахождения обратной функции ее область определения сужают, как правило, до $x \in [0; +\infty)$. На этом промежутке обратной для $f(x) = x^n$ является функция $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$. Для $f(x) = x^2$, $x \ge 0$, обратной является $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.