Номер 4, страница 86, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Сформулируйте основную теорему алгебры.

Основная теорема алгебры (также известная как теорема Д'Аламбера — Гаусса) — это фундаментальное утверждение о корнях многочленов с комплексными коэффициентами. У неё есть несколько эквивалентных формулировок.

Основная формулировка

Любой многочлен (полином) от одной переменной степени не ниже первой с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел.

Формально, для любого многочлена $P(z)$ вида:

$P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_1 z + a_0$

где степень $n \ge 1$, коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_n$ являются комплексными числами ($a_i \in \mathbb{C}$), и старший коэффициент $a_n \ne 0$, существует комплексное число $z_0 \in \mathbb{C}$, такое что $P(z_0) = 0$.

Поскольку действительные числа являются подмножеством комплексных ($ \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$), эта теорема справедлива и для многочленов с действительными коэффициентами.

Следствия и эквивалентные формулировки

Из основной теоремы вытекают важные следствия, которые часто используются как альтернативные формулировки.

1. Число корней и разложение на множители

Любой многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ корней в поле комплексных чисел, с учётом их кратности. Это означает, что многочлен $P(z)$ можно единственным образом (с точностью до перестановки сомножителей) представить в виде произведения линейных множителей:

$P(z) = a_n (z - z_1)(z - z_2)\dots(z - z_n)$

Здесь $z_1, z_2, \dots, z_n$ — это комплексные корни многочлена. Если какой-то корень встречается в разложении $k$ раз, говорят, что он имеет кратность $k$. Сумма кратностей всех корней равна степени многочлена $n$.

Пример: Многочлен $P(z) = z^3 - 5z^2 + 8z - 4$ имеет степень 3. Его можно разложить на множители как $P(z) = (z-1)(z-2)^2$. Корнями являются $z_1 = 1$ (кратность 1) и $z_2 = 2$ (кратность 2). Общее число корней с учётом кратности: $1 + 2 = 3$, что равно степени многочлена.

2. Корни многочленов с действительными коэффициентами

Если все коэффициенты $a_i$ многочлена $P(z)$ являются действительными числами, то его комплексные (не действительные) корни всегда образуют сопряжённые пары. Это значит, что если $z_0 = a + bi$ (где $b \ne 0$) является корнем, то и сопряжённое ему число $\bar{z_0} = a - bi$ также обязательно будет корнем этого многочлена.

Значение теоремы

Основная теорема алгебры говорит о том, что поле комплексных чисел $\mathbb{C}$ является алгебраически замкнутым. Это свойство означает, что любое полиномиальное уравнение, составленное с коэффициентами из этого поля, имеет все свои решения в этом же поле. Поле действительных чисел $\mathbb{R}$, в отличие от $\mathbb{C}$, не является алгебраически замкнутым (например, уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет решений в $\mathbb{R}$).

Ответ: Основная теорема алгебры гласит, что всякий многочлен степени $n \ge 1$ с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Как следствие, такой многочлен имеет ровно $n$ комплексных корней, если учитывать их кратность.