Номер 1, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Почему корень $n$-й степени из целого числа есть число или целое, или иррациональное?

Это утверждение можно доказать методом от противного. Мы должны показать, что если корень $n$-й степени из целого числа не является целым числом, то он не может быть рациональным числом (а значит, должен быть иррациональным).

Пусть $M$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Обозначим $x = \sqrt[n]{M}$.

Предположим, что $x$ является рациональным, но не целым числом. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби. Итак, пусть:

$x = \frac{p}{q}$

где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа ($\text{НОД}(p, q) = 1$), и $q > 1$. Условие $q > 1$ важно, так как оно означает, что число $x$ не является целым.

По определению корня $n$-й степени, если $x = \sqrt[n]{M}$, то $x^n = M$. Подставим в это равенство наше представление $x$ в виде дроби:

$(\frac{p}{q})^n = M$

$\frac{p^n}{q^n} = M$

Домножим обе части уравнения на $q^n$:

$p^n = M \cdot q^n$

Из этого равенства следует, что $p^n$ делится на $q$ без остатка, поскольку $M \cdot q^n$ очевидно делится на $q$ (ведь $q^n$ делится на $q$, а $M$ — целое).

Теперь вспомним наше начальное условие: дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты. Это означает, что у них нет общих простых делителей. Согласно основной теореме арифметики, если у $p$ и $q$ нет общих простых делителей, то и у $p^n$ и $q$ их тоже не будет (так как множество простых делителей числа $p^n$ совпадает с множеством простых делителей числа $p$).

Мы пришли к двум утверждениям:

1. $p^n$ делится на $q$.
2. $p^n$ и $q$ взаимно просты ($\text{НОД}(p^n, q) = 1$).

Единственный способ, которым одно целое число может делиться на другое, будучи с ним взаимно простым, — это если делитель равен 1 (или -1). Поскольку мы определили $q$ как натуральное число ($q > 1$), то из этих двух утверждений следует, что $q=1$.

Это прямо противоречит нашему исходному предположению о том, что $q > 1$. Значит, наше предположение о том, что $\sqrt[n]{M}$ может быть рациональным нецелым числом, неверно.

Таким образом, для корня $n$-й степени из целого числа остаются только две возможности: либо он является целым числом (что соответствует случаю $q=1$), либо он является иррациональным числом.

Ответ: Если предположить, что корень $n$-й степени из целого числа $M$ является рациональным, но не целым числом, его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $q > 1$. Из равенства $(\frac{p}{q})^n = M$ следует, что $p^n = M \cdot q^n$. Это означает, что $p^n$ делится на $q$. Однако, поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p^n$ и $q$ также взаимно просты. Единственным натуральным числом, на которое может делиться взаимно простое с ним число, является 1. Следовательно, $q=1$, что противоречит нашему предположению $q > 1$. Таким образом, корень $n$-й степени из целого числа не может быть дробным рациональным числом, а значит, он либо целый, либо иррациональный.