Номер 4, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Числа Гаусса.

Определение и общие сведения

Числа Гаусса (или гауссовы целые числа) — это комплексные числа, у которых и действительная, и мнимая части являются целыми числами. Любое гауссово число $z$ может быть представлено в виде: $z = a + bi$ где $a, b \in \mathbb{Z}$ (являются целыми числами), а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$.

Множество всех гауссовых чисел обозначается как $\mathbb{Z}[i]$. Примерами гауссовых чисел являются $2+3i$, $5$ (или $5+0i$), $-4i$ (или $0-4i$). Обычные целые числа являются подмножеством гауссовых чисел.

С точки зрения геометрии, гауссовы числа образуют на комплексной плоскости бесконечную решётку, узлы которой соответствуют точкам с целочисленными координатами.

Ответ: Гауссовы числа — это комплексные числа вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — целые числа. Они образуют целочисленную решётку на комплексной плоскости.

Арифметические операции и структура кольца

Арифметические операции над гауссовыми числами выполняются по тем же правилам, что и для обычных комплексных чисел. Пусть есть два гауссовых числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$.

• Сложение: $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$
• Вычитание: $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$
• Умножение: $z_1 \cdot z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$

Результат этих операций всегда является гауссовым числом, так как суммы, разности и произведения целых чисел также являются целыми. Множество $\mathbb{Z}[i]$ с операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, которое является подкольцом поля комплексных чисел $\mathbb{C}$.

Ответ: Сложение, вычитание и умножение гауссовых чисел производятся по стандартным правилам для комплексных чисел, и результат всегда является гауссовым числом. Множество гауссовых чисел $\mathbb{Z}[i]$ образует коммутативное кольцо.

Норма гауссова числа

Важнейшей характеристикой гауссова числа $z = a+bi$ является его норма, которая определяется как произведение числа на его комплексно-сопряженное: $N(z) = z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$

Свойства нормы:

• Норма гауссова числа всегда является неотрицательным целым числом.
• $N(z) = 0$ тогда и только тогда, когда $z=0$.
• Норма мультипликативна, то есть для любых гауссовых чисел $z_1$ и $z_2$ выполняется: $N(z_1 \cdot z_2) = N(z_1) \cdot N(z_2)$.

Норма является ключевым инструментом для изучения вопросов делимости в кольце $\mathbb{Z}[i]$, так как она переводит задачу из комплексной области в область целых чисел.

Ответ: Норма гауссова числа $z=a+bi$ — это целое число $N(z) = a^2+b^2$. Она неотрицательна и мультипликативна, то есть норма произведения равна произведению норм.

Делимость, делители единицы и простые числа

Понятие делимости в $\mathbb{Z}[i]$ аналогично делимости в целых числах. Говорят, что $\alpha$ делит $\beta$ ($\alpha | \beta$), если существует такое гауссово число $\gamma$, что $\beta = \alpha\gamma$. Из свойства мультипликативности нормы следует, что если $\alpha|\beta$, то $N(\alpha)|N(\beta)$ в кольце целых чисел $\mathbb{Z}$.

Делители единицы (или обратимые элементы) — это такие гауссовы числа $\varepsilon$, которые делят 1. Это эквивалентно условию $N(\varepsilon) = 1$. Уравнение $a^2+b^2=1$ в целых числах имеет четыре решения. Таким образом, в $\mathbb{Z}[i]$ существует четыре делителя единицы: $1, -1, i, -i$.

Простое гауссово число — это ненулевое гауссово число, не являющееся делителем единицы, которое делится без остатка только на делители единицы и на ассоциированные с ним числа (т.е. на числа вида $\varepsilon \cdot z$).

Связь между простыми числами в $\mathbb{Z}$ и в $\mathbb{Z}[i]$:

• Простое целое число $p$ вида $p \equiv 3 \pmod 4$ (например, 3, 7, 11) остаётся простым и в кольце гауссовых чисел.
• Простое целое число $p$ вида $p \equiv 1 \pmod 4$ (например, 5, 13, 17) перестаёт быть простым в $\mathbb{Z}[i]$ и разлагается на произведение двух сопряжённых простых гауссовых чисел: $p = a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)$. Например, $5=(1+2i)(1-2i)$.
• Число 2 также разлагается: $2 = (1+i)(1-i)$. Так как $1-i = -i(1+i)$, то $2 = -i(1+i)^2$. Здесь простым гауссовым числом является $1+i$ (и ассоциированные с ним).

Ответ: Делимость в $\mathbb{Z}[i]$ определяется аналогично целым числам. Делителями единицы являются $1, -1, i, -i$. Простые целые числа вида $4k+3$ остаются простыми в $\mathbb{Z}[i]$, в то время как 2 и простые вида $4k+1$ разлагаются на множители.

Основная теорема арифметики для гауссовых чисел

Кольцо гауссовых чисел $\mathbb{Z}[i]$ является евклидовым кольцом. Это означает, что для любых двух гауссовых чисел $\alpha$ и $\beta$ ($\beta \neq 0$) существует пара гауссовых чисел $\gamma$ (частное) и $\rho$ (остаток) таких, что $\alpha = \beta\gamma + \rho$, причём норма остатка строго меньше нормы делителя: $N(\rho) < N(\beta)$. В качестве евклидовой функции здесь выступает норма.

Важнейшим следствием евклидовости является то, что в кольце $\mathbb{Z}[i]$ справедлива основная теорема арифметики: любое гауссово число (не нуль и не делитель единицы) можно разложить на произведение простых гауссовых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и их замены на ассоциированные числа.

Например, разложение целого числа 30 на простые множители в $\mathbb{Z}[i]$ выглядит так: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = (-i(1+i)^2) \cdot 3 \cdot (1+2i)(1-2i)$

Ответ: Кольцо гауссовых чисел является евклидовым, что гарантирует единственность разложения любого гауссова числа на простые гауссовы множители (аналогично основной теореме арифметики для целых чисел).