Номер 5, страница 102, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. В каком случае показательная функция $y = a^x$ возрастает, а в каком — убывает?

Поведение показательной функции $y = a^x$ (ее возрастание или убывание) напрямую зависит от значения её основания $a$. Согласно определению показательной функции, её основание должно быть положительным числом, не равным единице, то есть $a > 0$ и $a \neq 1$. Таким образом, все возможные значения основания $a$ делятся на два промежутка: $a > 1$ и $0 < a < 1$.

В каком случае показательная функция возрастает

Функция является возрастающей, если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что и значения функции $f(x_1) < f(x_2)$.

Для показательной функции $y = a^x$ это свойство выполняется, когда её основание $a$ больше единицы ($a > 1$).

Это можно объяснить так: при умножении числа, большего единицы ($a$), само на себя, результат увеличивается. Чем больше раз мы его умножаем (чем больше показатель $x$), тем больше будет итоговое значение. Например, для функции $y=2^x$, имеем $2^2=4$ и $2^3=8$. Поскольку $2 < 3$, то и $2^2 < 2^3$.

Формально: пусть $x_1 < x_2$. Тогда разность $d = x_2 - x_1$ положительна. Сравним $a^{x_1}$ и $a^{x_2} = a^{x_1+d} = a^{x_1} \cdot a^d$. Так как $a > 1$ и $d > 0$, то $a^d > 1$. Умножив обе части неравенства $a^d > 1$ на положительное число $a^{x_1}$, получим $a^{x_1} \cdot a^d > a^{x_1} \cdot 1$, то есть $a^{x_2} > a^{x_1}$. Это доказывает, что функция возрастает.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ возрастает при $a > 1$.

В каком случае показательная функция убывает

Функция является убывающей, если для любых двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из условия $x_1 < x_2$ следует, что значения функции $f(x_1) > f(x_2)$.

Для показательной функции $y = a^x$ это свойство выполняется, когда её основание $a$ находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$).

Это можно объяснить так: при умножении положительного числа, меньшего единицы ($a$), само на себя, результат уменьшается. Чем больше раз мы его умножаем (чем больше показатель $x$), тем меньше будет итоговое значение. Например, для функции $y=(\frac{1}{2})^x$, имеем $(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$ и $(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$. Поскольку $2 < 3$, то $(\frac{1}{2})^2 > (\frac{1}{2})^3$.

Формально: пусть $x_1 < x_2$. Тогда разность $d = x_2 - x_1$ положительна. Сравним $a^{x_1}$ и $a^{x_2} = a^{x_1} \cdot a^d$. Так как $0 < a < 1$ и $d > 0$, то $0 < a^d < 1$. Умножив обе части неравенства $a^d < 1$ на положительное число $a^{x_1}$, получим $a^{x_1} \cdot a^d < a^{x_1} \cdot 1$, то есть $a^{x_2} < a^{x_1}$. Это доказывает, что функция убывает.

Ответ: Показательная функция $y = a^x$ убывает при $0 < a < 1$.