Номер 2, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Перечислите основные методы решения показательных уравнений.

Существует несколько основных методов решения показательных уравнений. Выбор метода зависит от конкретного вида уравнения.

1. Приведение к одному основанию

Этот метод применяется, когда обе части уравнения можно представить в виде степеней с одинаковым основанием. Если уравнение имеет вид $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, то оно равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Пример: Решить уравнение $5^{2x-1} = 125$.

Представим число 125 как степень с основанием 5: $125 = 5^3$.

Получаем уравнение: $5^{2x-1} = 5^3$.

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x - 1 = 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: преобразование уравнения к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и последующий переход к равенству показателей $f(x) = g(x)$.

2. Вынесение общего множителя за скобки

Метод используется, если уравнение представляет собой сумму или разность нескольких степенных членов с одинаковым основанием. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, можно вынести за скобки общий множитель.

Пример: Решить уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.

Преобразуем первое слагаемое: $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.

Уравнение примет вид: $9 \cdot 3^x - 3^x = 72$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(9 - 1) = 72$

$3^x \cdot 8 = 72$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x=2$

Ответ: вынесение за скобки степени с наименьшим показателем и решение получившегося простого уравнения.

3. Введение новой переменной (метод замены)

Этот метод эффективен для уравнений, которые можно свести к алгебраическим (чаще всего к квадратным) относительно некоторого показательного выражения. Уравнения вида $A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot a^{f(x)} + C = 0$ решаются заменой $t = a^{f(x)}$, где $t > 0$.

Пример: Решить уравнение $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Уравнение можно переписать так: $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

Введем новую переменную: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 4 = 0$.

Находим его корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_1=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: замена повторяющегося показательного выражения новой переменной, сведение уравнения к алгебраическому и решение обратной замены с учетом области значений новой переменной.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения

Метод применяется, когда основания степеней в левой и правой частях уравнения различны и не приводятся к одному. Логарифмируя обе части по одному и тому же основанию, можно "снять" переменные из показателей степени, используя свойство логарифма $\log_c(m^p) = p \cdot \log_c(m)$.

Пример: Решить уравнение $3^x = 7^{x+2}$.

Прологарифмируем обе части уравнения, например, по основанию 10 (можно использовать и натуральный логарифм $\ln$):

$\lg(3^x) = \lg(7^{x+2})$

Используем свойство логарифма степени:

$x \cdot \lg(3) = (x+2) \cdot \lg(7)$

Получили линейное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$x \cdot \lg(3) = x \cdot \lg(7) + 2 \cdot \lg(7)$

$x \cdot \lg(7) - x \cdot \lg(3) = -2 \cdot \lg(7)$

$x(\lg(7) - \lg(3)) = -2 \cdot \lg(7)$

$x = \frac{-2 \lg(7)}{\lg(7) - \lg(3)} = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)} = \frac{\lg(49)}{\lg(3/7)}$

Ответ: логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию для преобразования показательного уравнения в алгебраическое.

5. Функционально-графический метод

Этот метод заключается в построении графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Метод часто используется для нахождения количества корней или их приблизительных значений, а также в случаях, когда одна из функций является монотонно возрастающей, а другая — монотонно убывающей (в этом случае уравнение имеет не более одного корня).

Пример: Решить уравнение $2^x = 3-x$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3-x$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной, она монотонно возрастает на всей числовой оси.

Функция $y_2 = 3-x$ является линейной, она монотонно убывает на всей числовой оси.

Если одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Методом подбора легко найти, что при $x=1$ левая часть равна $2^1=2$, а правая часть равна $3-1=2$. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: построение графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и нахождение абсцисс точек их пересечения, либо анализ свойств функций (монотонность, область значений) для определения количества корней и их нахождения.