Номер 2, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Какие из перечисленных ниже степенных функций выпуклы вверх, а какие — выпуклы вниз: $y = x^{\frac{2}{3}}$, $y = x^{\frac{3}{2}}$, $y = x^{-0,6}$, $y = x^{11}$, $y = x^{-11}$, $y = x^{-\frac{16}{7}}$, $y = x^{2,7}$, $y = x^{0,11}$?

Для определения выпуклости степенной функции вида $y = x^p$ необходимо найти ее вторую производную, $y''$, и исследовать ее знак. Функция является выпуклой вниз (или просто выпуклой) на интервале, где ее вторая производная положительна ($y'' > 0$), и выпуклой вверх (вогнутой) на интервале, где ее вторая производная отрицательна ($y'' < 0$).

Будем рассматривать данные функции на их общей области определения $x > 0$.

Найдем общую формулу для второй производной степенной функции $y = x^p$:

Первая производная: $y' = p \cdot x^{p-1}$

Вторая производная: $y'' = p(p-1) \cdot x^{p-2}$

Поскольку мы рассматриваем интервал $x > 0$, множитель $x^{p-2}$ всегда будет положительным. Это означает, что знак второй производной $y''$ полностью определяется знаком выражения $p(p-1)$.

• Если $p(p-1) > 0$, что эквивалентно $p < 0$ или $p > 1$, то $y'' > 0$, и функция является выпуклой вниз.
• Если $p(p-1) < 0$, что эквивалентно $0 < p < 1$, то $y'' < 0$, и функция является выпуклой вверх.

Проанализируем каждую из представленных функций, основываясь на этом правиле.

$y = x^{\frac{2}{3}}$

Показатель степени $p = \frac{2}{3}$. Так как выполняется условие $0 < \frac{2}{3} < 1$, то выражение $p(p-1) = \frac{2}{3}(\frac{2}{3} - 1) = -\frac{2}{9}$ будет отрицательным. Следовательно, $y'' < 0$, и функция выпукла вверх.

Ответ: выпукла вверх.

$y = x^{\frac{3}{2}}$

Показатель степени $p = \frac{3}{2} = 1.5$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = \frac{3}{2}(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4}$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-0.6}$

Показатель степени $p = -0.6$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = -0.6(-0.6 - 1) = 0.96$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{11}$

Показатель степени $p = 11$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = 11(11 - 1) = 110$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-11}$

Показатель степени $p = -11$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = -11(-11 - 1) = 132$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{-2\frac{2}{7}}$

Показатель степени $p = -2\frac{2}{7} = -\frac{16}{7}$. Так как $p < 0$, то выражение $p(p-1) = (-\frac{16}{7})(-\frac{16}{7} - 1) = \frac{368}{49}$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{2.7}$

Показатель степени $p = 2.7$. Так как $p > 1$, то выражение $p(p-1) = 2.7(2.7 - 1) = 4.59$ будет положительным. Следовательно, $y'' > 0$, и функция выпукла вниз.

Ответ: выпукла вниз.

$y = x^{0.11}$

Показатель степени $p = 0.11$. Так как $0 < 0.11 < 1$, то выражение $p(p-1) = 0.11(0.11 - 1) = -0.0979$ будет отрицательным. Следовательно, $y'' < 0$, и функция выпукла вверх.

Ответ: выпукла вверх.

Таким образом, функции можно разделить на две группы:

Выпуклы вверх:

• $y = x^{\frac{2}{3}}$
• $y = x^{0.11}$

Выпуклы вниз:

• $y = x^{\frac{3}{2}}$
• $y = x^{-0.6}$
• $y = x^{11}$
• $y = x^{-11}$
• $y = x^{-2\frac{2}{7}}$
• $y = x^{2.7}$