Номер 3, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a > 0$?

Выражение $a^{\frac{p}{q}}$, где $a > 0$, а $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь (или, в общем виде, рациональное число), вычисляется на основе определения степени с рациональным показателем. Это определение устанавливает связь между возведением в дробную степень, возведением в целую степень и извлечением арифметического корня.

По определению, степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ равна корню $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Формула для вычисления выглядит так:

$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Здесь:

• $a$ — основание степени, являющееся положительным числом ($a > 0$).
• $p$ — числитель дроби, который определяет степень, в которую возводится основание. $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$).
• $q$ — знаменатель дроби, который определяет степень корня. $q$ — натуральное число, большее или равное 2 ($q \in \mathbb{N}, q \geq 2$).

Существует два равнозначных способа вычисления, вытекающих из свойств степеней:

1. Сначала возведение в степень, затем извлечение корня.
   Сначала нужно возвести основание $a$ в степень $p$, а после этого извлечь из полученного результата корень степени $q$.
   $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
2. Сначала извлечение корня, затем возведение в степень.
   Сначала нужно извлечь корень степени $q$ из основания $a$, а затем полученный результат возвести в степень $p$.
   $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Второй способ на практике часто оказывается удобнее, так как вычисления проводятся с меньшими числами.

Пример:

Допустим, нам нужно вычислить $8^{\frac{2}{3}}$.

В данном случае $a = 8$, $p = 2$, $q = 3$.

Используем первый способ:

$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.

Используем второй способ:

$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$

Сначала извлекаем корень: $\sqrt[3]{8} = 2$.

Затем возводим результат в степень: $2^2 = 4$.

Как видно, оба способа дают одинаковый результат.

Условие $a > 0$ является обязательным, так как в области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен (например, выражение $(-16)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-16}$ не имеет смысла).

Ответ: Чтобы вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $a>0$, нужно извлечь корень $q$-й степени из $a$ и полученный результат возвести в степень $p$. Альтернативно, можно сначала возвести $a$ в степень $p$, а затем из результата извлечь корень $q$-й степени. Формулы: $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$ или $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.