Номер 1, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Как вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь и $a \ge 0$?

1.

Чтобы вычислить значение выражения $a^{\frac{p}{q}}$, где $a \ge 0$, а $\frac{p}{q}$ – обыкновенная дробь (будем считать, что $p$ – целое число, а $q$ – натуральное число, $q \ge 2$), необходимо воспользоваться определением степени с рациональным показателем.

Степень числа $a$ с рациональным показателем $\frac{p}{q}$ определяется как корень $q$-й степени из числа $a$, возведенного в степень $p$.

Это можно записать в виде формулы:
$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$

Эта формула является основным правилом для вычисления таких выражений. Порядок действий следующий:
1. Возвести основание $a$ в степень $p$ (числитель дроби).
2. Извлечь из полученного результата корень степени $q$ (знаменатель дроби).

Существует и второй, часто более удобный для вычислений, способ. Можно сначала извлечь корень, а затем возвести в степень:
$a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$

Этот способ удобен, если из числа $a$ легко извлекается корень $q$-й степени. Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Пример:
Вычислим $27^{\frac{2}{3}}$.
Здесь $a = 27$, $p = 2$, $q = 3$.

Способ 1: $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$
$27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729}$
Поскольку $9 \times 9 \times 9 = 729$, то $\sqrt[3]{729} = 9$.

Способ 2: $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$
$27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2$
Сначала находим кубический корень из 27: $\sqrt[3]{27} = 3$.
Затем возводим результат в квадрат: $3^2 = 9$.

Как видно, второй способ в данном случае оказался проще, так как не пришлось работать с большим числом 729.

Условие $a \ge 0$ является важным, так как для отрицательных $a$ корень четной степени ($q$ - четное число) в области действительных чисел не определен.

Ответ: Чтобы вычислить $a^{\frac{p}{q}}$, где $a \ge 0$, нужно извлечь из числа $a$ корень степени $q$ и результат возвести в степень $p$, то есть $a^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[q]{a})^p$. Или, что то же самое, возвести число $a$ в степень $p$ и из результата извлечь корень степени $q$: $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$.