Номер 1, страница 30, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Может ли уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ иметь рациональный корень, не являющийся целым числом? иррациональный корень?

Данное уравнение $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ является полиномиальным уравнением третьей степени с целыми коэффициентами. Проанализируем его корни.

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно этой теореме, если многочлен с целыми коэффициентами $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$ имеет рациональный корень вида $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

В нашем уравнении $x^3 + 5x^2 - 7x - 12 = 0$ старший коэффициент $a_3 = 1$, а свободный член $a_0 = -12$.

Следовательно, для любого рационального корня $x = \frac{p}{q}$ этого уравнения, знаменатель $q$ должен быть делителем числа $1$. Целыми делителями единицы являются только $1$ и $-1$.

Это означает, что любой рациональный корень данного уравнения может быть представлен в виде $x = \frac{p}{\pm 1} = \pm p$, то есть он обязан быть целым числом. Таким образом, уравнение не может иметь рациональный корень, который не является целым.

Ответ: Нет, не может.

Чтобы выяснить, может ли уравнение иметь иррациональный корень, сначала установим, есть ли у него рациональные корни. Как мы выяснили в предыдущем пункте, если рациональные корни существуют, они должны быть целыми. Возможные целые корни — это делители свободного члена $-12$: $ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$.

Обозначим левую часть уравнения как функцию $P(x) = x^3 + 5x^2 - 7x - 12$. Проверим, является ли какое-либо из этих целых чисел корнем, подставляя их в функцию:

$P(1) = 1^3 + 5(1)^2 - 7(1) - 12 = 1 + 5 - 7 - 12 = -13 \neq 0$

$P(-1) = (-1)^3 + 5(-1)^2 - 7(-1) - 12 = -1 + 5 + 7 - 12 = -1 \neq 0$

$P(2) = 2^3 + 5(2)^2 - 7(2) - 12 = 8 + 20 - 14 - 12 = 2 \neq 0$

Проверка всех остальных возможных целых корней также показывает, что ни одно из них не обращает многочлен в ноль. Это означает, что уравнение не имеет целых корней, а следовательно, не имеет и рациональных корней.

Однако любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Чтобы доказать его существование и определить его природу, снова рассмотрим значения функции $P(x)$ в точках $x=1$ и $x=2$. Мы уже посчитали, что $P(1) = -13$ и $P(2) = 2$.

Так как функция $P(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[1, 2]$ принимает значения разных знаков ($P(1) < 0$ и $P(2) > 0$), по теореме о промежуточном значении на интервале $(1, 2)$ должен существовать корень уравнения. Поскольку этот корень лежит между $1$ и $2$, он не является целым числом. А так как мы доказали, что у уравнения нет рациональных корней, не являющихся целыми, то этот корень должен быть иррациональным.

Ответ: Да, может.