Номер 1, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Приведите пример однородного многочлена $p(x; y)$ второй степени; третьей степени.

Однородный многочлен от нескольких переменных — это многочлен, у которого все одночлены (члены) имеют одинаковую полную степень. Полная степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

второй степени

Однородный многочлен $p(x; y)$ второй степени — это такой многочлен, у которого сумма степеней переменных $x$ и $y$ в каждом его члене равна 2. Общий вид такого многочлена: $p(x; y) = ax^2 + bxy + cy^2$, где $a$, $b$, $c$ — это числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Например, рассмотрим многочлен $p(x; y) = 3x^2 - 7xy + 2y^2$. Он состоит из трех членов:

• $3x^2$: степень этого члена равна 2.
• $-7xy$: степени переменных $x$ и $y$ равны 1, их сумма $1+1=2$.
• $2y^2$: степень этого члена равна 2.

Поскольку все члены многочлена имеют степень 2, он является однородным многочленом второй степени.

Ответ: $p(x; y) = 3x^2 - 7xy + 2y^2$

третьей степени

Аналогично, однородный многочлен $p(x; y)$ третьей степени — это многочлен, у которого сумма степеней переменных $x$ и $y$ в каждом его члене равна 3. Общий вид такого многочлена: $p(x; y) = ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — это числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Например, рассмотрим многочлен $p(x; y) = x^3 + 5x^2y - y^3$. Он состоит из трех членов:

• $x^3$: степень этого члена равна 3.
• $5x^2y$: степени переменных $x$ и $y$ равны 2 и 1, их сумма $2+1=3$.
• $-y^3$: степень этого члена равна 3.

Поскольку все члены многочлена имеют степень 3, он является однородным многочленом третьей степени.

Ответ: $p(x; y) = x^3 + 5x^2y - y^3$